Szép és korrekt megoldás! Ha látnátok, hogy hány oldalnyit számoltak a különböző megoldások beküldői, mindenféle vektorkomponensekkel manipulálva... Nagy trükk, hogy megfelelő inerciarendszerből nézzük az eseményeket, ez drasztikusan leegyszerűsíti a számolásokat.
Ami amúgy józan paraszti ésszel is belátható: kezdetben vala egy v és egy V sebességgel mozgó részecském, később lőn egy v és egy V sebességgel mozgó részecském: nem nagyon lehet másként, minthogy tömeget és sebességet cseréltek...
Azért a relativitáselmélettel kapcsolatban én óvatosan bánnék a "józan paraszti ésszel", ami annyiszor vezetett tévútra sokakat. Az általad írt állítás speciel igaz, de korántsem mondanám magától értetődőnek. A leírt számolásod első része, a megfelelő inerciarendszer-választással tulajdonképpen ennek az állításnak a bizonyítása.
Ha nem jut eszünkbe ez a koordinátaválasztás, és maradunk az eredeti rendszerben, akkor is könnyen beláthatjuk a fenti állítást, ezzel a tömegcserét (sokkal könnyebben, mint sok megoldó áttekinthetetlen számolásával). Írjuk fel a hármasimpulzus megmaradását a folyamat elején és végén. A két részecske mozgásának irányába mutató egységvektor legyen
[Renderelés ... \mathbf{e}]\mathbf{e} és
[Renderelés ... \mathbf{n}]\mathbf{n}. Az impulzusok abszolút értéke
[Renderelés ... p=m\,sinh{\chi}]p=m\,sinh{\chi}. Ezért a teljes impulzus a folyamat elején:
[Renderelés ... \mathbf{P}=M\,sinh{\chi_1}\mathbf{e}+m\,sinh{\chi_2}\mathbf{n}]\mathbf{P}=M\,sinh{\chi_1}\mathbf{e}+m\,sinh{\chi_2}\mathbf{n}. A folyamat végén
[Renderelés ... \chi_1]\chi_1 és
[Renderelés ... \chi_2]\chi_2 helyet cserél, ugyancsak felcserélődnek az
[Renderelés ... \mathbf{e}]\mathbf{e} és
[Renderelés ... \mathbf{n}]\mathbf{n} egységvektorok, a tömegek pedig hetedükre, illetve hétszeresükre változnak. Ezért a teljes impulzus a folyamat végén:
[Renderelés ... \mathbf{P}=(M/7)\,sinh{\chi_2}\mathbf{n}+(7m)\,sinh{\chi_1}\mathbf{e}]\mathbf{P}=(M/7)\,sinh{\chi_2}\mathbf{n}+(7m)\,sinh{\chi_1}\mathbf{e}. Ennek egyenlőnek kell lennie az előző értékkel. Az egyenlőség átrendezhető úgy, hogy az egyik oldalon az
[Renderelés ... \mathbf{e}]\mathbf{e}, a másik oldalon az
[Renderelés ... \mathbf{n}]\mathbf{n} szerepel bizonyos együtthatókkal. Mivel a két vektor nem párhuzamos (a feladat szerint éppen merőlegesek, de ezt itt még nem kell kihasználni), a két oldal csak úgy lehet egyenlő, ha mindkettő nullvektor, azaz az egységvektorok együtthatói nullák. Ez pedig az egyik oldalon
[Renderelés ... [(M/7)-m]][(M/7)-m]-mal, a másik oldalon
[Renderelés ... [7m-M]][7m-M]-mel arányos. Ebből kiderül, hogy a sebességek cseréjéből tényleg következik a tömegek cseréje is.
A számolás utolsó része egy kicsit egyszerűsíthető. Most célszerűbb a négyes jelölésmód. Legyen az egyik részecske négyesimpulzus-vektora kezdetben
[Renderelés ... p^k]p^k - ez a fentiek szerint megegyezik a másik részecske négyesimpulzus-vektorával a folyamat végén. A másik részecske négyesimpulzus-vektora kezdetben legyen
[Renderelés ... q^k]q^k - ez pedig a fentiek szerint az első részecske négyesimpulzus-vektorával egyezik meg a folyamat végén. A rendszer invaráns tömege a
[Renderelés ... (p^k+q^k)](p^k+q^k) négyesvektor abszolút értéke. A közvetítő részecske eltávozása a
[Renderelés ... p^k]p^k négyesimpulzusú részecskéből
[Renderelés ... q^k]q^k négyesimpulzusút csinált - ő tehát
[Renderelés ... (q^k-p^k)](q^k-p^k) négyesimpulzust vitt el, tömege ennek a négyesvektornak az abszolút értéke. Innen már látszik a dolog szimmetriája, ami a háromdimenziós jelölésból nem derül ki.
Ha e két négyesvektor négyzetét kiszámítjuk, csak egyetlen tagban különböznek, a
[Renderelés ... 2\,E_1\,E_2]2\,E_1\,E_2 tag előjele más. (A másik hasonló tag, a hármasimpulzusok
[Renderelés ... 2\mathbf{p}\mathbf{q}]2\mathbf{p}\mathbf{q} skaláris szorzata kiesik a sebességek (és így az impulzusok) feltételezett merőlegessége miatt. A két egyenletben a már ismert tömegek négyzetei szerepelnek, a megadott invariáns tömeg, és az említett
[Renderelés ... 2\,E_1\,E_2]2\,E_1\,E_2 tag. Mivel az együtthatók ravaszul lettek megválasztva, azonnal kijön a közvetítő részecske tömegére a nulla érték - és ehhez még a rapiditásokat sem kellett kiszámolni (annak az értékét és is csak most, a te levezetésed alapján tudtam meg...)
Örülök a szép levezetésednek - és sajnálom, hogy erre a trükkre a világ minden tájáról érkezett 12 megoldás egyikének a szerzője (csupa fizikus hallgató) sem jött rá. Sőt az, aki az eredményhirdetés után előadta a megoldást, külön hangsúlyozta, hogy szép és egyszerű feladat, de hosszú és bonyolult, unalmas megoldási módszerrel... No erre föl megmutattam a saját fenti levezetésemet, ami sokkal rövidebb és egyszerűbb volt. A tied meg még sokkal egyszerűbb és frappánsabb. Gratula!
dgy