Szabiku vizsgálódásai

Önjelölt zsenik és fórumszabályzat-sértők lezárt témái, mindenki okulására megőrizve.

Re: Szabiku vizsgálódásai

HozzászólásSzerző: Antares » 2016.12.05. 19:04

szabiku írta:Jó. Akkor maradjunk a háromszögnél.
A halmaz elemei, vagyis a vektorok végpontjai a háromszög élein helyezkednek el, és az általa meghatározott síkon a közrezárt területen. Nem kell súlyozni, vagyis a súlyfaktor 1, azaz a példa alapján képzelt háromszög síkidom nagyon vékony (elhanyagolható vastagságú) lapka tömegsűrűsége homogén. Tehát egyszerűen csak meg kell keresni azt a pontot melyet, ha origónak választanánk, akkor a háromszög lapkát meghatározó vektorok átlaga nulla. A háromszöget, és az összes pontját meghatározzák az A, B, C pontok (ahogy a példád alapján is). Hogyan vezeted le a korábbi két kiindulásodat bázis nélkül (ami ugye a háromszög esetére adódik)?? (Ugyanis onnan már könnyen számolsz, hogy s = (a+b+c)/3, vagy s = (a+b)/2 + (c-c')/3, ahol (a+b)/2 = c'.)


Pedig le lehet vezetni.

Ha felhasználod, hogy egy szakasz súlypontja megegyezik a felezőpontjával, és bevezetsz egy futó változót, mondjuk x-et, ami 0-tól 1-ig fut, akkor a háromszöget felbonthatod végtelen sok párhuzamos szakaszra (amelyek az egyik oldallal párhuzamosak). Ezeknek a szakaszoknak a középpontvektorát súlyozd a szakaszok hosszával, és integráld 0-tól 1-ig x szerint, majd az eredményt oszd el a háromszög területével (ami hasonló integrálással szintén kifejezhető a csúcsvektorokkal), és kijön az (a+b+c)/3

Hogy egy szakasz súlypontja épp a felezőpont, az belátható vagy a szimmetriára hivatkozva, vagy szintén egy x változót felvéve egy hasonló, csak még egyszerűbb integrálással.
Antares
 
Hozzászólások: 263
Csatlakozott: 2014.03.26. 04:38
Has thanked: 72 times
Been thanked: 17 times

Re: Szabiku vizsgálódásai

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.12.05. 19:17

persicsb írta:Egyrészt nem csak az átlaga, hanem ha az lenne az origo, akkor simán csak a három helyvektor összege is nullvektor lenne.
Ez egy tulajdonsága csak a súlypontnak, pont azt számoltuk ki, hogy a súlypont helyvektora a három helyvektor átlaga mindig, akkor is, ha a súlypont az origó, meg akkor is, ha nem. Az, hogy ha a súlypont az origó, akkor a három helyvektor összege nulla, az következik az általános állításból, hiszen az origóba a nullvektor mutat :D

Igen, természetesen az átlag is csak akkor lehet nulla, ha már az összeg is az.
Azzal a halmaz, ami a végpontokat tartalmazza, egyértelműbb a háromszög holléte tekintetében, mint az ami a helyvektorokat tartalmazza, ugyanis a helyvektorokhoz már egy rögzített origó is kell.
Hoppá, jut eszembe, ha eldobjuk a bázist, mert minek, akkor dobjuk el az origót is!
Minek az? Éppen úgy, ahogy a bázis nélkül, a vektorok origó nélkül is léteznek, nem? :)
Tehát akkor nincs olyan, hogy a, b, meg c vektor stb., mert ezek hallgatólagosan egy felvett origóból mutatnak, aminek szintén abszolút de semmi jelentősége, ezért ne is legyen használva... :D Tehát a vektort két ponttal, a kezdő és végponttal adjuk meg! ;) És akkor így már remélem érted, hogy miért a kifogásolt pontokkal adtam meg a halmazt.

persicsb írta:Mit kell levezetnem bázis nélkül?


Azt, hogy a háromszög esetén úgy adódik ki a súlypont, hogy súlyvonal, meg metszésük, meg az ezzel ekvivalens nem legmélyebb kiindulások...
Mutasd meg bázis és origó használata nélküli levezetéssel, hogy ahogy kérted, egy megadott halmaz elemeiből (ami ugye nem csak a szóban forgó háromszöget adhatja meg), hogyan lehet levezetni a súlypont elhelyezkedését mondjuk a csúcspontokhoz viszonyítva, vagy hogy az a súlyvonalaknak kinevezett vonalak metszéspontja...
Ne ezekből indulj ki, hanem abból, amit megtárgyaltunk, hogy ki kell átlagolni ahhoz a sok ponthoz tartozó vektorokat.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Szabiku vizsgálódásai

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.12.05. 19:23

Antares írta:Pedig le lehet vezetni.

Ha felhasználod, hogy egy szakasz súlypontja megegyezik a felezőpontjával, és bevezetsz egy futó változót, mondjuk x-et, ami 0-tól 1-ig fut, akkor a háromszöget felbonthatod végtelen sok párhuzamos szakaszra (amelyek az egyik oldallal párhuzamosak). Ezeknek a szakaszoknak a középpontvektorát súlyozd a szakaszok hosszával, és integráld 0-tól 1-ig x szerint, majd az eredményt oszd el a háromszög területével (ami hasonló integrálással szintén kifejezhető a csúcsvektorokkal), és kijön az (a+b+c)/3

Hogy egy szakasz súlypontja épp a felezőpont, az belátható vagy a szimmetriára hivatkozva, vagy szintén egy x változót felvéve egy hasonló, csak még egyszerűbb integrálással.

Na ez egész jó!
Sőt egyszerűen így belátható, hogy ha ezt mindhárom oldallal megtesszük, akkor az így adódó súlyvonalak metszéspontja lesz a súlypont.

Sőt elég két oldallal ezt eljátszani, mert szükségképpen az így kapott lehetséges megoldásokat tartalmazó két súlyvonal egyetlen metszéspontja a megoldás.
Talán ez bonyolultabb esetekben is működik, csak bonyolódik...

Viszont az integrálásos módszer az nyerő, mert ha mondjuk a háromszög nem sík, akkor a kapott vonalak metszéspontja nem jó...
A hozzászólást 2 alkalommal szerkesztették, utoljára szabiku 2016.12.05. 19:47-kor.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Szabiku vizsgálódásai

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.12.05. 19:32

A háromszög esete a legegyszerűbb eset a szakasz súlypontjának egyszerű szimmetria alapján a felezőpontjára adódó megoldása után.
Nézzünk akkor bonyolultabb feladatot bázis és origó nélkül:
Mondjuk hogyan lehetne így kiszámolni a relativisztikus transzverzális és longitudinális tömeg arányát?? :mrgreen:
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Szabiku vizsgálódásai

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.12.05. 20:14

Nos, hát akkor nézzük csak, hogyan is vannak azok az összeszorzott Dirac-delták, amik ugye nem függvények, hanem disztribúciók.

Induljunk ki a kiintegrált hullám előállításából:

[Renderelés ... 2\pi\delta(s-s') = \int_{-\infty}^{+\infty}{e^{i(s-s')x} dx} = \int_{-\infty}^{+\infty}{e^{isx} e^{-is'x}\, dx} = \int_{-\infty}^{+\infty}{f^*(s,x)\, g(s',x)\, dx} = (f,g)].

A Dirac-delta láthatóan két rendes függvény skalárszorzatából áll elő, melyek [Renderelés ... x] mellett függnek az [Renderelés ... s] és [Renderelés ... s'] szintén valós paraméterektől.

A Fourier-transzformáció egy unitér transzformáció, ezért skalárszorzattartó: [Renderelés ... (f,g) = (Uf,Ug)], ahol [Renderelés ... U^+U = I].
Alkalmazzuk hát: [Renderelés ... Ff = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)\, e^{ipx}\, dx}].

[Renderelés ... 2\pi\delta(s-s') = (f,g) = (Ff,Fg) = \int_{-\infty}^{+\infty}{(Ff)^* Fg\, dx} =]

[Renderelés ... = \int_{-\infty}^{+\infty}{\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-isx} e^{ipx}\, dx} \right)^*\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-is'x} e^{ipx}\, dx} \right]dp} =]

[Renderelés ... = \int_{-\infty}^{+\infty}{\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{isx} e^{-ipx}\, dx}\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-is'x} e^{ipx}\, dx} \right]dp} =]

[Renderelés ... = \int_{-\infty}^{+\infty}{\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{i(s-p)x}\, dx}\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{i(p-s')x}\, dx} \right]dp} =]

[Renderelés ... = \int_{-\infty}^{+\infty}{\left[\frac{2\pi}{\sqrt{2\pi}}\delta(s-p)\, \frac{2\pi}{\sqrt{2\pi}}\delta(p-s') \right]dp} = 2\pi\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta(p-s)\, \delta(p-s')\, dp}]. Felhasználtuk, hogy [Renderelés ... \delta(x) = \delta(-x)].

Egyszerűsítve [Renderelés ... 2\pi]-vel, valamint a [Renderelés ... p], [Renderelés ... s], és [Renderelés ... s'] változóparamétereket egyetlen [Renderelés ... x] (valós) skálára téve:

[Renderelés ... \int_{-\infty}^{+\infty}{\delta(x - x_1)\, \delta(x - x_2)\, dx} = \delta(x_1 - x_2)].

Jelentse ez az [Renderelés ... x] skála a megszámlálhatatlanul végtelen dimenziós kvantummechanikai [Renderelés ... \Phi] komplex állapotvektor absztrakt terének (állapottér) egy folytonosan végtelen elemű bázisrendszerét. Legyen a [Renderelés ... \Phi] állapotvektor Dirac-deltára normálva. Az utóbbi képlet erre vonatkozóan mutatja, hogy (mivel a baloldala egy erre megfelelő skalárszorzat) ha az állapotvektor ennek a bázisnak (bázisrendszernek) egy [Renderelés ... x' = x_1 = x_2] eleme irányába mutat, akkor az állapotvektor hossza (ugye, mert a skalárszorzat a hossznégyzetet adja):

[Renderelés ... \sqrt{\delta(x_1 - x_2)} = \sqrt{\delta(x' - x')} = \sqrt{\delta(0)} = +\sqrt{\infty}].

Legyen [Renderelés ... \Phi] normája [Renderelés ... +\sqrt{\infty}] helyett [Renderelés ... 1]. Ekkor, mivel [Renderelés ... 1^2=1]:

[Renderelés ... \int_{-\infty}^{+\infty}{\Psi^*\Psi\, dx} = 1], ahol most [Renderelés ... \Psi^* = \Psi] (mert a báziselem irányát a pozitív valós érték adja), tehát:

[Renderelés ... \int_{-\infty}^{+\infty}{\Psi^2\, dx} = 1]. Itt [Renderelés ... \Psi^2]-re nyilvánvalóan a Dirac-delta adódik:

[Renderelés ... \Psi^2 = \delta(x - x')], amiből egyszerűen következik, hogy [Renderelés ... \Psi = \sqrt{\delta(x - x')}].

Tehát az aktív bázisvektor sűrűséget jelentő [Renderelés ... \Psi(x)] függvény [Renderelés ... +\sqrt{1\delta}] értékű az [Renderelés ... x] pontban, ha az ott (csak) egy [Renderelés ... 1] hosszúságú bázisvektor irányú (azaz pozitív valós) komponenst jelent egy akármilyen e térbeli mondjuk [Renderelés ... \Phi]-vel jelölt vektorban.
Ez a levezetés a korábbi kijelentésemre:

szabiku írta:A pont által kijelölt irányú komponensnek és a bázisvektornak a viszonyát pedig ehhez a ponthoz rendelt érték adja.
Na vajon mi ez az érték, ha a komponens a bázisvektorral egyenlő??
...
Pedig de.. [Renderelés ... +\sqrt{1\delta}], azaz a Dirac-delta pozitív gyöke.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Szabiku vizsgálódásai

HozzászólásSzerző: Antares » 2016.12.05. 21:20

szabiku írta:Hoppá, jut eszembe, ha eldobjuk a bázist, mert minek, akkor dobjuk el az origót is!
Minek az? Éppen úgy, ahogy a bázis nélkül, a vektorok origó nélkül is léteznek, nem? :)
Tehát akkor nincs olyan, hogy a, b, meg c vektor stb., mert ezek hallgatólagosan egy felvett origóból mutatnak, aminek szintén abszolút de semmi jelentősége, ezért ne is legyen használva... :D


Amikor a csúcspontokhoz mutató vektorokat felrajzoljuk egy pontból kiindulva, az nem azt jelenti, hogy egy konkrét koordinátarendszert vagy annak az origóját használtuk. A dolog lényege épp az, hogy a levezetést úgy végezzük el, hogy arról a bizonyos kezdőpontról nem tételezünk fel semmit. Vagyis bárhol felvehetjük azt a pontot, a levezetés ugyanaz marad. Ettől lesz az eredmény origó- és bázisfüggetlen.
Antares
 
Hozzászólások: 263
Csatlakozott: 2014.03.26. 04:38
Has thanked: 72 times
Been thanked: 17 times

Re: Szabiku vizsgálódásai

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.12.05. 22:10

Így van, de hát ha használunk egy közös origót a dolgok (leírás, számítás) esetleges megkönnyítésére, akkor ebbe az origóba nyugodtan felvehetünk egy tetszőleges bázist, hogy még jobb legyen az egész. Mivel a bázis is tetszőleges, akár csak az origó, így az eredmény valóban ezektől független lesz.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Relativisztikus dinamika

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.12.05. 22:43

Előre bocsánatot kérek, ha valakit esetleg bánt, hogy kielemeztem, és az alapján a leírt módon (Novobátzky Károly és Landau könyve alapján) saját véleményem szerint látom az alábbi dolgokat ezzel a témával kapcsolatban.


Relativisztikus hidrodinamika.png
Relativisztikus hidrodinamika.png (215.97 KiB) Megtekintve 10007 alkalommal.


dgy írta:Az ideális folyadék definíciója az, hogy nem csak álló helyzetben, de mozgás közben sem ébrednek benne nyíróerők. Pont. Ennyi.

Ez inkább csak a viszkozitásmentességet próbálja fura módon definiálni.. Vagy a cikkben említett és idézett Szabó János egyik mondatának azonos értelmű átfogalmazása.
Az "álló helyzet" és "mozgás közben" megfogalmazások a teljes makroszkopikus rendszerre értettséget sugallják. Az ilyen pillanatnyi mozgás, mivel relatív, nem érdekes a belső szerkezetre nézve. A folytonos anyag pici elemi darabjára, mint "teljes rendszerre" ugyan ez érvényes. A nyírófeszültségek eltűnését tetszőlegesen választott térszerű koordinátatengely irányultság esetén az energiaimpulzus-tenzor térszerű sajátértékeinek háromszoros elfajultsága jelenti. Ha ez nem csak éppen pont úgy alakult, hanem ténylegesen ez jellemző a vizsgált anyag tulajdonságára, mint állapot, akkor benne nem ébrednek nyírófeszültségek.
dgy írta:A definíció nem beszél az összenyomhatatlanságról, mert az az idealitástól függetlenül fennálló vagy fenn nem álló tulajdonság.

A folyadék idealitásába az összenyomhatatlanságot általában bele szokták venni.. (Én több helyen így olvastam.)

Marx a fent megjelentetett cikk 2. paragrafusában a folyadékot egy helyen (94. oldal alja) inkompresszibilisnek veszi (csak hallgat róla), és ezzel lényegében nem csak önellentmondó, hanem még ráadásul ez alapján kíván másik cikkében relativisztikusan elemi dinamikát alapozni.
A bevezető első mondata:
Marx György írta:"Megadjuk a relativisztikus dinamikának variációs elvből kiinduló megalapozását."

Itt nem a hidrodinamikára gondol...


Marx György írta:"Ideális folyadéknak nevezzük az olyan anyagot, melyben nyírófeszültségek nem hatnak, csak izotróp nyomás."

Marxnál a 94. oldal alján a nyomás (sajnos) az infinitezimális anyagdarabot nem deformálja, hanem a merev, és akár PONTszerű anyag"valamit" manipulálja. Egyszerűen csak ad neki tömeget, vagy elvesz. Ez szerintem hibás elgondolás..
Novobátzkynál rendesen deformálódik az infinitezimális anyagdarab a nyomás hatására, úgy ahogyan annak kell. (Novobátzky könnyv 99. oldal.)

Kezdjük a közepéről, és nézzük hogyan jön (19) a (17)-ből és (18)-ból (alsóindexes [Renderelés ... ict]-s formalizmus van most):

(17) [Renderelés ... T_{ik} = \mu u_i u_k + p\delta_{ik}].

(18) [Renderelés ... \partial_k T_{ik} = 0]. Ebbe behelyettesítve az előző kifejezést, adódik:

[Renderelés ... \partial_k (\mu u_i u_k + p\delta_{ik}) = 0],

[Renderelés ... \partial_k (\mu u_i u_k) + \partial_k (p\delta_{ik}) = 0],

[Renderelés ... \partial_k (\mu u_i u_k) + \delta_{ik}\partial_k p + p\partial_k \delta_{ik} = 0].

Az utolsó tag nulla, mert a konstans [Renderelés ... \delta_{ik}] deriváltja nulla.
A középső tagban pedig a Kronecker delta csak kicseréli a parciális deriválás indexét. Ezzel:

[Renderelés ... \partial_k (\mu u_i u_k) + \partial_i p = 0]. A második tagot áttéve a jobboldalra:

(19) [Renderelés ... \partial_k (\mu u_i u_k) = -\partial_i p].

Elvégezve a parciális deriválást úgy, hogy a zárójelben lévő kifejezést kéttényezős szorzatnak tekintjük, melyben az egyik tényezőt [Renderelés ... u_i]-nek, a másikat [Renderelés ... \mu u_k]-nak vesszük:

(19) [Renderelés ... \mu u_k \partial_k u_i + u_i\partial_k(\mu u_k) = -\partial_i p]. Szorozva [Renderelés ... u_i]-vel:

[Renderelés ... \mu u_k u_i\partial_k u_i - c^2\partial_k(\mu u_k) = -u_i\partial_i p].

Az első tag nulla, mert: [Renderelés ... u_i\partial_k u_i = \frac{1}{2}\partial_k(u_i u_i) = \frac{1}{2}\partial_k(-c^2) = 0].

Tehát, így következik mindjárt (20):

[Renderelés ... \partial_k(\mu u_k) = \frac{1}{c^2}u_i\partial_i p]. Mivel azonban [Renderelés ... u_i\partial_i p \equiv \frac{dx_i}{d\tau}\frac{\partial p}{\partial x_i} \equiv \frac{dx_i\frac{\partial p}{\partial x_i}}{d\tau}\ \equiv \frac{dp}{d\tau}], kapjuk:

(20) [Renderelés ... \partial_k(\mu u_k) = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau}]. Baloldalt elvégezve a deriválást:

[Renderelés ... \mu\partial_k u_k + u_k\partial_k\mu = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau}].

A második tagban egészen hasonlóan a jobboldalhoz [Renderelés ... u_k\partial_k\mu\equiv\frac{d\mu}{d\tau}]. Így:

(20.a) [Renderelés ... \mu\partial_k u_k + \frac{d\mu}{d\tau} = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau}].


Itt álljunk meg egy hosszabb pillanatra! Marx (20)-ból egy csapásra a következő összefüggésre jut:

[Renderelés ... \frac{dM}{dt} = \frac{d}{dt}\int{\mu\,\frac{dt}{d\tau} dV} = \frac{1}{c^2}\int{\frac{dp}{d\tau} dV} \neq 0].

Na, innen jön a "megváltozik a nyugalmi tömeg" Marx(-DGy)-féle elképzelés.

Szerintem itt fontosak lennének a részletek, de a szerzője ezzel nem igen törődött..
a.) Megpróbálok követni egy gondolatmenetet, melyben egyáltalán nem bizonyul jónak az eredmény.
b.) Majd jóval lentebb megadok egy másik gondolatmenetet, mellyel értelmezhető a hasonló eredmény.

Nézzük előbb az elsőt:
a.)
Az inkompresszibilis anyag terében a négyessebesség divergenciája nulla: [Renderelés ... \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\equiv\partial_k u_k = 0].
Úgy tűnik Marx ezt szó nélkül felhasználja (20)-ra, és ezzel (20.a) első tagja eltűnik. Így próbál eljutni a 94. oldal alján lévő előbb felírt összefüggésére, melynek végső állítása: [Renderelés ... \frac{dM}{dt} \neq 0]. (Vélhetően itt [Renderelés ... t] egy megfigyelő "valódi" ideje.)

Tehát [Renderelés ... \mu\partial_k u_k] eltűnik, és marad [Renderelés ... \frac{d\mu}{d\tau} = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau}], vagyis [Renderelés ... \frac{d}{d\tau}\mu = \frac{d}{d\tau}\frac{p}{c^2}].

A baloldalt, isten tudja mi alapján elgondolt közvetett deriválással, vélhetően átírja [Renderelés ... \frac{d\mu}{d\tau} = \frac{d}{dt}\mu\,\frac{dt}{d\tau}] alakúra (itt gondolom [Renderelés ... t] egy megfigyelő "valódi" ideje.), szoroz [Renderelés ... (\sqrt{g})dV] térfogattal (csak most [Renderelés ... \sqrt{g}=1], amit ezért el is hagy, de a térfogat jelentéshez mindenképpen kell), majd (gondolom a [Renderelés ... dV]-hez tartozó hiperfelületen haladva) integrál egy bizonyos tartományra, melyhez a következőt mondja:
Marx György írta:"Ha (20) mindkét oldalát olyan tartományra integráljuk, melynek határán [Renderelés ... \mu u_k] tömegáramlás nincs, ..."

Hmmm... Honnan veszi azt, hogy létezik egyáltalán ilyen tartományhatár egy dinamikus kontinuumban, ahol általában [Renderelés ... \mu \neq 0], tehát ahol [Renderelés ... u_k = 0]?? (az anyagra értelmezett négyessebesség nem nullavektor!) És ehhez még azt, hogy mindenhol [Renderelés ... \partial_k u_k = 0]??, ami egyébként sehol máshol a cikkben nem áll. Szerintem ez totál illogikus, és még ellent is mond a relativitáselméletnek. Ugyanis, ha nincs tömeg beáramlás (vagy ami azonos vele: energia beáramlás) a tértartományba, akkor hogyan is növekedhetne (kiáramlás hiányában pedig, hogyan csökkenhetne) már a tértartományba foglalt tömeg (energia)?? Kicsit lentebb ugyanis ezt állítja: [Renderelés ... \frac{dM}{dt} \neq 0.] :D
Ráadásul:
Marx György írta:"...olyan tartományra integráljuk, melynek határán [Renderelés ... \mu u_k] tömegáramlás nincs, ..."
vagyis a sebesség nulla(??), de azért
Marx György írta:"...az anyag más nyomású helyre kerül."
:mrgreen:

Egyáltalán miért is (tér?)tartományról beszél, mikor az anyagi kontinuum egy anyagdarabjáról van valójában szó.
Ezek nem egészen azonosítható dolgok... Hiába, hogy az anyagdarab, mint anyagi tartomány, minden pillanatban tértartományban foglal helyet, az integrálás tartományát egyáltalán nem mindegy, hogy melyikhez kötjük, mert a "maga nemében" rögzített határaik a mozgások miatt általában nem esnek egybe. Hacsak nem az anyaggal minden pontban "együttmozgó" koordináta-rendszert veszünk fel, de itt Cartesiusi metrika van most, tehát az szóba sem jöhet. És még ráadásul mikor Cartesiusi metrikára tér át az amúgy görbült téridőn, akkor azt csak egy infinitezimálisan kis tartományban tudja összeegyeztetni vele, tehát nem is tudni hova integrál...

Ezen súlyos problémák ellenére azért próbáljuk meg valahogyan követni Marx (valamiért :) ) nem részletezett gondolatmenetét:

Tehát ott tartunk, hogy integrálja [Renderelés ... \frac{d}{dt}\mu\,\frac{dt}{d\tau} (\sqrt{g})dV = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau} (\sqrt{g})dV] egyenletet:

[Renderelés ... \int{\frac{d}{dt}\mu\,\frac{dt}{d\tau} (\sqrt{g})dV} = \frac{1}{c^2}\int{\frac{dp}{d\tau} (\sqrt{g})dV}]. (Most [Renderelés ... \sqrt{g}=1].)

Kérdés, hogyan vihető ki baloldalt [Renderelés ... \frac{d}{dt}] az integráljel elé?

1.) Kell hozzá, hogy [Renderelés ... \sqrt{g}\frac{dt}{d\tau}dV = dV_0] ne függjön a [Renderelés ... t] időtől.
2.) Valamint az integrálási tartomány határa se függjön a [Renderelés ... t] időtől.

Ekkor: [Renderelés ... \int{\frac{d}{dt}\mu\,dV_0} = \int{\frac{d}{dt}\left(\mu\,dV_0\right)} = \frac{d}{dt}\int{\left(\mu\,dV_0\right)}] lenne, és ezzel:

[Renderelés ... \frac{d}{dt}\int{\mu\frac{dt}{d\tau} (\sqrt{g})dV} = \frac{1}{c^2}\int{\frac{dp}{d\tau} (\sqrt{g})dV}] lenne.

Ahol az [Renderelés ... 1] értékű [Renderelés ... \sqrt{g}]-t elhagyva megkapjuk a 94. oldal alján lévő egyenletet:

[Renderelés ... \frac{d}{dt}\int{\mu\,\frac{dt}{d\tau} dV} = \frac{1}{c^2}\int{\frac{dp}{d\tau} dV}]. Ami az (5) [Renderelés ... M = \int{\mu\,\sqrt{g}\frac{dt}{d\tau} dV}] ide nem vonatkoztatható(!!!) egyenlet alapján [Renderelés ... \frac{dM}{dt}] lenne, ami talán nem nulla, mert ránézésre úgy tűnik a jobboldalon [Renderelés ... \frac{dp}{d\tau}] általában nem nulla.. (5) azért nem vonatkozik ide, mert abban [Renderelés ... dt] nem a valódi idő differenciálját jelenti(!!!), hanem csupán a tetszőleges koordinátázásból adódó [Renderelés ... \frac{dx^4}{c}] mennyiséget. Ez roppant félrevezető, melyet a (3)-ban ejtett hiba (a végén a nevezőben az oda nem kellő képzetes [Renderelés ... i]) még erősít.

1.) problémája, hogy [Renderelés ... \frac{dt}{d\tau}] mennyiség (ami vélhetően [Renderelés ... \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}]. (Novobátzky könyv 102. oldal teteje.)) függvénye a [Renderelés ... t] időnek ([Renderelés ... v(t)] miatt), ezért [Renderelés ... \frac{dt}{d\tau}dV = dV_0] is függvénye a [Renderelés ... t] időnek. (Arról nem is beszélve, hogy [Renderelés ... \sqrt{g}] nem is nagyon illik ide, csak az (5)-el összekeveredett vélhető elképzelést láttatom vele, ezért is van zárójelben.) [Renderelés ... dV = dx_1 dx_2 dx_3] koordinátadifferenciál szorzat természetesen nem függvénye a [Renderelés ... t] időnek. [Renderelés ... dV] és [Renderelés ... dV_0] egyébként ilyen értelemben nem egy hiperfelületen vannak, ezért nem esnek egybe, hanem csak metszik egymást. Azzal, hogy [Renderelés ... \frac{d\mu}{d\tau}]-t egy közvetett deriválásos (ami mellesleg hamis) formában gondolja el, hogy aztán abból [Renderelés ... \frac{dt}{d\tau}]-t hozzácsapva [Renderelés ... dV]-hez [Renderelés ... dV_0] adódjon, még nem változik meg az integrálás menete. Az integrálás továbbra is a [Renderelés ... dV]-nek megfelelő hiperfelületen történik, ha azon lett előírva, így [Renderelés ... dV_0] nem egy új integrálelem, valamint így nem is egy másik rendszerbeli (nyugalmi) koordinátadifferenciál szorzat, és ezért függvénye a [Renderelés ... t]-nek. Ezek alapján [Renderelés ... \frac{d}{dt}] nem emelhető át az integráljelen.

2.) problémája teljesen hasonló a tartományba való be- vagy kiáramlás problémájával...
Az idézetben aláhúzott állítás talán inkább csak azt akarja mondani, hogy olyan tartományra integráljunk, melynek határán nem jut se be, se ki anyag. Erre utal a folytatás első szavainak megfogalmazása is:
Marx György írta:"A kiszemelt anyagmennyiség..."


A kontinuum kiszemelt elemi [Renderelés ... \delta V], vagy [Renderelés ... \delta V_0] (ez most mindegy, mert ugyan arról a [Renderelés ... \delta]-val jelölt anyagdarabról van szó) anyagdarabjára [Renderelés ... \frac{d(\delta M)}{dt} \neq 0], vagy akármennyi kiszemelt anyagdarabra [Renderelés ... \frac{d\int{\delta M}}{dt} = \frac{dM}{dt} \neq 0] csak akkor igaz általában, ha általában a sebességtér divergenciája [Renderelés ... \partial_k u_k \neq 0]. Ennek helyes számítási menetét a Novobátzky könyv 39. Kontinuumok mechanikája című pontja tartalmazza.

[Renderelés ... M] nem pontszerű, hanem integrális mennyiség, tehát a hagyományos anyagmegmaradással rendelkező pontmechanikába NEM emelhető át ez az időbeli fejlődés, ugyanis a PONTnak nincsenek dilatációs tulajdonságai, az anyagmegmaradás pedig nem engedi meg a kinetikus energiának, hogy (pl. ütközés során) tisztán anyagi nyugalmi energiává váljon (egyesülés itt most nincs), vagy fordítva (ami a bomlás esete lenne). Éppen ezért a pontszerű részecskék rugalmatlan ütközésének esete kivezet ezekből a témakörökből...
A relativisztikus pontmechanikában továbbra is marad [Renderelés ... \frac{dm}{dt}=0], és [Renderelés ... \frac{dm}{d\tau}=0], ahol [Renderelés ... m] egy PONTszerű nyugalmi tömeg.

Látható, hogy Marx György [Renderelés ... \frac{dM}{dt}] képlete egyszerűen nem jön ki, és talán ezért nem is részletezte a levezetését a cikkében... :)

És jön hozzá a szöveg:
Marx György írta:"A kiszemelt anyagmennyiség nyugalmi tömege változik, ha az anyag más nyomású helyre kerül. (A nyomásból származó erő az anyagon belső munkát végez, megváltoztatja annak sebességén kívül belső energiáját is, ami a nyugalmi tömeg változásában jut kifejezésre.)"

A "kiszemelt anyagmennyiség" tulajdonképpen [Renderelés ... M = \int_{anyag\,szerint}{\delta M}], ami a mozgolódások és deformáció miatt általában nem adható meg a megfigyelő koordinátáiban rögzített tértartomány integrálásával, azaz [Renderelés ... \int_{anyag\,szerint}{\delta M} \not\equiv \int_{V}{\mu\,dV}] integrállal (az esetleges pillanatnyi egyenlőségük, mert éppen akkor ott van az anyag, nem azonosság). Ez a probléma a cikkben talán azért nem olyan feltűnő elsőre, mert jelölésegyszerűsítésképp az integráljelen nincs jelölve a tartomány értése. Ahogy azt fentebb is írtam, a kiszemelt anyagrész egyáltalán nem azonos pusztán egy térbeli tartománnyal. A b.) elgondolásban éppen ez lesz kijavítva.
Ebből is jól látszik, hogy Marx György mennyire nem értette meg Novobátzky Kontinuumok mechanikája című 39. alfejezetét (99. oldal a könyvben), és benne az anyagelemre vonatkoztató [Renderelés ... \delta] jelölést, meg persze a hozzá kapcsolódó dilatációs kalkulációt, a kombinált (195) végeredménnyel együtt.


Visszatérve a [Renderelés ... \frac{d}{d\tau}\mu = \frac{d}{d\tau}\frac{p}{c^2}] egyenlethez, vigyük tovább az inkompresszibilis jelleget.
Differenciálokra áttérve ez még egyszerűbb alakú: [Renderelés ... c^2 d\mu = dp]. (A nyomás adja a nyugvó tömeget.. :D )
Ennek az általános megoldása: [Renderelés ... \mu = const. + \frac{p}{c^2}], ahol a konstanst így [Renderelés ... \mu_0]-nak kell választani, mert [Renderelés ... \frac{d}{d\tau}\mu_0 \equiv u_i\partial_i\mu_0 = 0] így illeszkedik a [Renderelés ... \partial_i u_i = 0] inkompresszibilis jelleghez, mivel ekkor:

[Renderelés ... u_i\partial_i\mu_0 + \mu_0\partial_i u_i = \partial_i(\mu_0 u_i) = 0], ami éppen a kontinuitási egyenlet.

Ez a [Renderelés ... \mu_0] nyugalmi tömegsűrűségű anyag megmaradását jelenti, tehát az összetevő elemi részeinek [Renderelés ... m = \mu_0\delta V_0] nyugalmi tömege állandó a mozgása során. Azért így a helyes, és nem pedig így: [Renderelés ... m = \int{\mu_0\ dV_0}], mert [Renderelés ... \mu_0] csak az egyes infinitezimális elemi anyagdarabokon belül konstans (és ugye így a mozgás során), viszont minden egyes ilyen elemhez tetszőleges érték tartozhat, tehát [Renderelés ... \mu_0] függvénye a térnek, és az időnek is, mert ugye a koordináta-rendszer szerinti térpontban minden időben lehet más anyagelem a mozgásuk miatt. (Itt a "térpontban" megfogalmazás talán nem tökéletes nyelvileg, hiszen az anyagelem nem pontszerű, hanem infinitezimálisan kiterjedt. Zavarba ejtő, viszont matematikailag nem probléma, hogy minden egyes ponthoz külön infinitezimális kiterjedésű tartomány tartozik.)

[Renderelés ... \mu = \mu_0 + \frac{p}{c^2}]. (22) majdnem ilyen alakú, csak ott skalárpotenciált farag a [Renderelés ... p] nyomásból (amit kicsit lentebb részletezek), és az abban szereplő [Renderelés ... \mu_0] már nem konstans az anyagelem világvonala mentén, hanem fejlődő. Ezzel együtt ekkor már a [Renderelés ... \partial_i u_i] négyessebesség divergencia sem nulla...

Ezt visszaírva a (17)-be, megkapjuk az összenyomhatatlan inkompresszibilis folyadék energiaimpulzus-tenzorát:

(26) [Renderelés ... T_{ik} = \left(\mu_0 + \frac{p}{c^2}\right) u_i u_k + p\delta_{ik} = \mu_0 u_i u_k + p\left(\delta_{ik} + \frac{1}{c^2}u_i u_k\right)]. (Novobátzky könyv 106. oldal (211) képlet.)

(17) [Renderelés ... T_{ik} = \mu u_i u_k + p\delta_{ik}] az energiaimpulzus-tenzornak részeiben nem egy igazán jól értelmezhető felbontása. Marx ezzel kapcsolatban cikkében a következőt idézi:
Marx György írta:"Szabó János szerint erre az alakra közvetlenül a következőképpen juthatunk: Az első tag a tömegmozgásról számot adó kinetikus energia-impulzustenzor. A második tag a rugalmas feszültségekről számot adó tenzor. Ha megköveteljük, hogy utóbbinak nem-diagonális, nyíró-jellegű komponensei bármely inerciarendszerben tűnjenek el, egyértelműen a [Renderelés ... p\delta_{ik}] alakra jutunk."

(Az utolsó mondathoz: Már az elején említettem, hogy a választott megfigyelő inerciarendszernek semmi köze ahhoz, hogy megköveteljük a nyírófeszültségek nemébredését. Utóbbi az anyag lehetséges állapotát korlátozó követelés, melyet mondjuk egy állapotegyenlet állít be..)
Ha igaz volna, hogy az első tag a tisztán kinetikus energiaimpulzus-tenzor, akkor a második tag hibás, ugyanis abban nem csak a nyomásnak megfelelő három diagonális komponensnek ad [Renderelés ... p] értéket, hanem a negyediknek is, ami így önmagában hibás energiaimpulzus-tentor. Ez teljesen egyértelmű. A negyedik diagonális tag a negatív nyugalmi energiasűrűséget jelenti (a (+,+,+,+)-os, [Renderelés ... i]-t használó, és csak alsóindexes szignatúrában), és ennek abszolút értéke nagyobb kell legyen, mint [Renderelés ... 3p], különben az energiaáramlás gyorsabb lenne a vákuumbeli fénysebességnél. Ezért ennek nem lehet úgy (se) pozitív (se) [Renderelés ... p] értéket adni, hogy a két résztenzort összegezve ez a [Renderelés ... T_{ik}]-ban ne esne ki, és akkor az első tenzor ebben a komponensben még mindig tartozik a másodiknak legalább [Renderelés ... -3p]-vel, tehát az nem lehet tisztán kinetikus jellegű. Ezt meggondolva máris adódik, hogy az első tagban [Renderelés ... \mu]-nek tartalmaznia kell egy [Renderelés ... +\frac{p}{c^2}] tagot, hogy az említett [Renderelés ... p] kiessen, és ami marad, az sem csak a tömegmozgásról ad számot, hanem tartalmazza az anyagdarabban tárolt rugalmas energia nyugalmi értékének megfelelő részt is, ezért az nem tisztán kinetikai nyugvásból származik. Így a [Renderelés ... \mu] valójában [Renderelés ... \frac{\epsilon + p}{c^2}] kell legyen, ahol még [Renderelés ... \frac{\epsilon}{c^2} \neq \mu_0], tehát [Renderelés ... \epsilon/c^2 = \mu_0 + r/c^2], ahol [Renderelés ... r] a rugalmas energia nyugalmi értéke. A tisztán kinetikus energiaimpulzus-tenzor [Renderelés ... \mu_0 u_i u_k], ahol [Renderelés ... \mu_0] a saját rendszerében teljesen nyugvó tömegsűrűséget jelent.

Általában, és inkább folytonossági szemléletben azonban, [Renderelés ... \mu_0] nem választható külön az anyagban. Így általában a [Renderelés ... \partial_i(\mu_0 u_i) = 0] egyenlet sem létezik, tehát [Renderelés ... \mu] összetevődésének pontos ismeretéhez valamilyen állapotegyenletnek az ismerete is szükséges.

A tapasztalat azonban az anyag szerkezetének ilyen-olyan, összetettebb, vagy elemibb, de részecskeszerű szerkezetét tárta fel (melyek elemei gyakran még jól szeparálhatóak is, mint gázok, folyadékok, plazmák, elektron"felhő", egyéb részecskecsoportosulások...), ezért hasznos lehet formálisan mégis különválasztani [Renderelés ... \mu_0]-t, ami azt jelenti, hogy fenntartani rá a [Renderelés ... \partial_i(\mu_0 u_i) = 0] kontinuitási egyenletet, de úgy, hogy közben [Renderelés ... \partial_i u_i \neq 0], vagyis kompresszibilis (összenyomható) az anyag, mert hiszen az inkompresszibilitás (összenyomhatatlanság) elvileg is súlyosan hibás idealizáció volna, mert az a fénysebességet túlszárnyaló hatástovábbítást engedne meg, amit ugye alapvetően tilt a relativitáselmélet. Ezért könyvében Novobátzky is tiltakozik az inkompresszibilitás idealizációja ellen a 107. oldal tetején.

Tehát [Renderelés ... \partial_i(\mu_0 u_i) = u_i\partial_i\mu_0 + \mu_0\partial_i u_i = 0],

és így [Renderelés ... \mu_0\partial_i u_i = -u_i\partial_i\mu_0 = -\frac{d}{d\tau}\mu_0], azaz:

A négyessebesség divergenciája a részecskék sűrűségének csökkenését jelenti.

[Renderelés ... \int{\mu_0 dV_0} = n\,m], ahol [Renderelés ... m] az invariáns és konstans részecsketömeg, [Renderelés ... n] pedig a térfogatba foglalt részecskék száma. (Itt most csak egyféle anyagot gondolunk el, ezért benne csak egyforma alkotórészecskék vannak.)

Meg lehet alkotni olyan mozgásegyenletet, melyben nem szerepel [Renderelés ... \mu_0]. Ez úgy lehetséges, hogy más mennyiséget vezetünk be, és ezzel más, bizonyos szempontból (vagy esetekben) esetleg hasznos leírást nyerhetünk.

Eddig a mozgásegyenletünk:

(19) [Renderelés ... \partial_k (\mu u_i u_k) = \mu u_k \partial_k u_i + u_i\partial_k(\mu u_k) = -\partial_i p]. Ezt [Renderelés ... u_i]-vel szorozva jött (20):

(20) [Renderelés ... \partial_k(\mu u_k) = \frac{1}{c^2} u_k \partial_k p].

Vezessük be [Renderelés ... \mu]-nek [Renderelés ... \mu_0]-tól való eltérését egy [Renderelés ... P] függvénnyel:

(22) [Renderelés ... \mu = \mu_0 \left(1 + \frac{P}{c^2}\right)].

Helyettesítsük be ezt (20)-ba:

[Renderelés ... \partial_k\left[\mu_0 \left(1 + \frac{P}{c^2}\right) u_k\right] = \frac{1}{c^2} u_k \partial_k p]. Elvégezve a parciális deriválásokat kapjuk:

[Renderelés ... \partial_k(\mu_0 u_k) + \partial_k\left(\frac{\mu_0 u_k P}{c^2}\right) = \frac{1}{c^2} u_k \partial_k p],

[Renderelés ... \partial_k(\mu_0 u_k) + \frac{P}{c^2}\partial_k(\mu_0 u_k) + \frac{1}{c^2}\mu_0 u_k \partial_k P = \frac{1}{c^2} u_k \partial_k p]. Az első két tag nulla. Ezek elhagyása után [Renderelés ... \frac{1}{c^2}]-tel egyszerűsítve marad:

[Renderelés ... \mu_0 u_k \partial_k P = u_k \partial_k p]. Átírjuk [Renderelés ... u_k \partial_k]-t [Renderelés ... \frac{d}{d\tau}]-ra: [Renderelés ... \mu_0 \frac{dP}{d\tau} = \frac{dp}{d\tau}].

Ez az összefüggés független [Renderelés ... d\tau]-tól, tehát a világvonalaktól is, így azt egyszerűsítve hagyjuk el, és térjünk át pusztán differenciálokra:

[Renderelés ... \mu_0 dP = dp]. A mértékegységek: [tömegsűrűség] [energia/tömeg] = [energiasűrűség]

Az egyenletből és a mértékegységekből is jól látható, hogy [Renderelés ... P] (skalár)potenciál, amit nevezzünk el nyomáspotenciálnak. Ez lesz a hidrodinamika nyomáspotenciálja.

Átvisszük [Renderelés ... \mu_0]-t a másik oldalra, majd integrálunk: (23) [Renderelés ... \int{dP} = P = \int{\frac{dp}{\mu_0}}].

Ahogyan [Renderelés ... p], úgy természetesen [Renderelés ... P] is függvénye a térnek, és az időnek.

Ezek teljes differenciáljait átírva a kettővel előbbi egyenletben kapjuk: [Renderelés ... \mu_0\frac{\partial P}{\partial x_k}dx_k = \frac{\partial p}{\partial x_k}dx_k].

Mivel ebben [Renderelés ... dx_k] tetszőleges, következik, hogy [Renderelés ... \mu_0\frac{\partial P}{\partial x_k} = \frac{\partial p}{\partial x_k}]. Egyszerűbb jelöléssel: [Renderelés ... \mu_0\partial_k P = \partial_k p].

Most kovácsoljuk össze (19) mozgásegyenletet a belőle fakadó (20) egyenlettel.
Behelyettesítve (20)-at (19)-be:

[Renderelés ... \mu u_k \partial_k u_i + \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k p = -\partial_i p], (Átrendezés:)

[Renderelés ... \mu u_k \partial_k u_i = -\frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k p - \partial_i p], (Jobboldalon az utolsó tagban egy Kronecker deltával indexváltoztatás:)

[Renderelés ... \mu u_k \partial_k u_i = -\frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k p - \delta_{ik}\partial_k p], (Kiemelés:)

[Renderelés ... \mu u_k \partial_k u_i = -\left(\delta_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\partial_k p], (Baloldalon azonos átírás:)

(24) [Renderelés ... \mu \frac{du_i}{d\tau} = -\left(\delta_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\partial_k p].

Helyettesítsük be (22) [Renderelés ... \mu = \mu_0 \left(1 + \frac{P}{c^2}\right)] összefüggést az átrendezés előtti összekovácsolt egyenletbe:

[Renderelés ... \mu_0 \left(1 + \frac{P}{c^2}\right)u_k \partial_k u_i + \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k p = -\partial_i p]. Osztva [Renderelés ... \mu_0]-al, és felhasználva, hogy [Renderelés ... \frac{\partial_k p}{\mu_0} = \partial_k P]:

[Renderelés ... \left(1 + \frac{P}{c^2}\right)u_k \partial_k u_i + \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k P = -\partial_i P].

Az első tagot [Renderelés ... ab' = (ab)' - ba'] összefüggés alapján átalakítva, ahol a deriválásnak most [Renderelés ... u_k\partial_k \equiv \frac{d}{d\tau}] felel meg:

[Renderelés ... u_k\partial_k\left[\left(1 + \frac{P}{c^2}\right) u_i\right] - u_i u_k \partial_k\left(1 + \frac{P}{c^2}\right) + \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k P = -\partial_i P].

A második tag átalakítva a harmadikkal egyezik, és kiejtik egymást:

[Renderelés ... u_k\partial_k\left[\left(1 + \frac{P}{c^2}\right) u_i\right] - \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k P + \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k P = -\partial_i P]. Marad:

[Renderelés ... u_k\partial_k\left[\left(1 + \frac{P}{c^2}\right) u_i\right] = -\partial_i P]. Készen is vagyunk, a (19) hidrodinamikai mozgásegyenlet új alakja:

(25) [Renderelés ... \frac{d}{d\tau}\left[\left(1 + \frac{P}{c^2}\right) u_i\right] = -\partial_i P].

Ezzel kiküszöböltük [Renderelés ... \mu]-vel együtt [Renderelés ... \mu_0]-t is, és [Renderelés ... p]-t is, tehát lényegtelenné vált, hogy [Renderelés ... \mu_0] valóban különválasztható-e, vagy sem [Renderelés ... \mu]-ben, hiszen ezek helyett sikerült bevezetni egy [Renderelés ... P] potenciált, amely kifejezetten hasznos mennyiség lehet bizonyos dinamikai problémák tárgyalására/leírására. Pl.:
Marx György írta:"Az atommagban terjedő hanghullámok sebessége megközelíti a fénysebességet, ami kívánatossá teszi e téren is a relativisztikus effektusok megbecslését. A hidrodinamika egyenleteinek extrém relativisztikus alakját alkalmazta Landau a mezon-keletkezés elméletében a nagyenergiával ütköző nukleonok belsejében terjedő lökéshullám leírására."

A cikk 3. paragrafusa a sebességpotenciállal, potenciáláramlással, relativisztikus Bernoulli-egyenlettel folytatja a hidrodinamika alapjait.


Ahogy fentebb említettem, megadok egy gondolatmenetet arra, hogyan lehet mégis valamiképpen értelmezni a kérdéses "megváltozik a nyugalmi tömeg" igen rosszul megfogalmatott dolgot...
b.)
Természetesen a saját nyugalmi tömeg nem fog megváltozni. :)
Marx György írta:"A kiszemelt anyagmennyiség ... melynek határán ... tömegáramlás nincs"

Értsük ezt inkább úgy, hogy átáramlás nincs.

Használjunk a vizsgálati helyen Cartesiusi metrikát. ([Renderelés ... \sqrt{g}=1])
Legyen a "kiszemelt anyagmennyiség" egy infinitezimális anyagelem, melynek térfogatát ekkor Novobátzky könyve nyomán az erre vonatkozó [Renderelés ... \delta] jelölést használva, jelöljük [Renderelés ... \delta V]-vel, és szorozzuk be a (20.a) egyenletet ezzel:

[Renderelés ... \mu\partial_k u_k \delta V + \frac{d\mu}{d\tau} \delta V = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau} \delta V]. Baloldalt a második tagot közvetett deriválással átírjuk [Renderelés ... \frac{d\mu}{dt}\frac{dt}{d\tau} \delta V].

Ebben az elgondolásban ezzel nincs baj, mert külön bármely vizsgálati helyen a próbatest szerű kiszemelt anyagelem világvonal menti ottani [Renderelés ... \mu] nyugalmi sűrűsége tekinthető egyedül a megfigyelő [Renderelés ... t] idejétől függő mennyiségnek: [Renderelés ... \frac{d}{dt}\mu\,\frac{dt}{d\tau} \delta V]. Ebben [Renderelés ... \frac{dt}{d\tau} \delta V = \delta V_0], tehát:

[Renderelés ... \mu\partial_k u_k \delta V + \frac{d}{dt}\mu\,\delta V_0 = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau} \delta V]. Hasonlóan jobboldalt is elvégezzük az átalakítást:

[Renderelés ... \mu\partial_k u_k \delta V + \frac{d}{dt}\mu\,\delta V_0 = \frac{1}{c^2}\frac{d}{dt}p\,\delta V_0].

Kívánatos a megállapítás eléréséhez, hogy matematikailag különválasszuk az éppen kiszemelt infinitezimális próbatest szerű anyagelemet, és a környezetet, melyet az anyagi kontinuum többi része jelent. Ez a vizsgálati függetlenítés azt jelenti, hogy rögzítjük a próbatest nyugalmi térfogatát, tehát [Renderelés ... \frac{d}{dt} \delta V_0 = 0], és ezzel együtt [Renderelés ... \partial_k u_k = 0]. (Novobátzky könyv 105. oldal (210) képlet.)
Az egyenlet baloldalának első tagja utóbbi összefüggés miatt eltűnik, a többiben pedig [Renderelés ... \delta V_0] bevihető a deriválás alá:

[Renderelés ... \frac{d}{dt}\left(\mu\delta V_0\right) = \frac{1}{c^2}\frac{d}{dt}\left(p\,\delta V_0\right)]. Differenciálokra áttérve: [Renderelés ... d(\mu\delta V_0) = \frac{1}{c^2}d(p\,\delta V_0)].

Ebben [Renderelés ... \mu = \frac{\epsilon + p}{c^2}], és [Renderelés ... \mu\delta V_0 = \delta M]. Így:

[Renderelés ... d(\delta M) = \frac{1}{c^2}d(p\,\delta V_0)]. Mivel [Renderelés ... \delta V_0] rögzített: [Renderelés ... d(\delta M) = \frac{1}{c^2}dp\,\delta V_0].

Ebből pedig az látható, hogy egy rendszer teljes tömege (a képletben még csak infinitezimálisan kicsi a tekintett rendszer, és éppen nyugalmi mennyiségekkel van felírva..) tartalmazza annak a munkának, mint energiának a tömegegyenértékét is, mely az infinitezimális tartományon (anyagdarabon) belüli egyes picike darabkák egymás melletti elhelyezkedéséhez szükséges. Más szóval a rendszer külön gondolt kis picike részeinek saját összesített [Renderelés ... \epsilon\,\delta V_0] energiáján kívül az összeállításához, létrehozásához szükséges [Renderelés ... p\,\delta V_0] energiát is tartalmazza, amit együtt nevezzünk az infinitezimális anyagdarab nyugalmi entalpiájának:

[Renderelés ... \delta entalpia_0 = (\epsilon + p)\delta V_0].

Ebben a tekintetben az E0 = m0c2 összefüggésben a baloldal az entalpiát jelenti. Mivel a [Renderelés ... \delta M] nyugalmi érték, így ez az entalpia is itt most csak amolyan "nyugalmi entalpia" (erre utal a 0 index). Egy véges kiterjedésű rendszer teljes, azaz infinitezimális kis darabjainak mozgási energiáját (erre utal az M index) is tartalmazó [Renderelés ... M_M = \int{\delta M_M}] tömegegyenértéknek nyilván tartalmaznia kell a nyomásból eredő, és az energiát entalpiára kiegészítő tagot is. Logikus lenne a képletet úgy átírni, hogy benne az [Renderelés ... \epsilon] nyugalmi energiasűrűség helyett az [Renderelés ... \epsilon_M] megfigyelő rendszerbeli energiasűrűséget venni, a [Renderelés ... \delta V_0] nyugalmi térfogat helyett a [Renderelés ... \delta V] megfigyelő rendszerbeli térfogatot venni, és a [Renderelés ... p] nyomás, mivel invariáns skalár, marad ugyan az. Ekkor az infinitezimális anyagdarab (nem nyugalmi) entalpiáját kapjuk (melynek következetes levezetését majd egy másik hozzászólásomban tárgyalom..): [Renderelés ... \delta entalpia = (\epsilon_M + p)\delta V], melynek integrálja a véges kiterjedésű rendszer "igazi" entalpiája:

[Renderelés ... entalpia = \int{\delta entalpia} = \int{(\epsilon_M + p)\delta V}].

Az "igazi" (azaz nem nyugalmi) entalpia a teljesen általános E = mc2 összefüggés alapján [Renderelés ... \frac{M_M}{c^2}], vagy infinitezimális anyagdarabra [Renderelés ... \frac{\delta M_M}{c^2}].

Ezek alapján: [Renderelés ... \delta M_M = \mu_M\delta V = \frac{\epsilon_M + p}{c^2}\delta V].

Kezdeti gondolatmenetünk a [Renderelés ... V_0] nyugalmi térfogat értékének, és az [Renderelés ... \epsilon] nyugalmi energiasűrűség értékének rögzítettségéhez vezetett. Rögzítsük most a [Renderelés ... \delta V] térfogat értékét, és az [Renderelés ... \epsilon_M] energiasűrűség értékét. Ekkor a mozgási energia egyenértékét is tartalmazó tömeg "megváltozása", ha a [Renderelés ... \delta V] térfogaton belül pusztán folytonosan más nyomást képzelünk el:

[Renderelés ... d(\delta M_M) = \frac{1}{c^2}dp\,\delta V].

Érdemes észrevenni, hogy az elején a vizsgálati elgondolás még valamennyire fizikai folyamatszerű, de végül már inkább csak matematikai átúsztatásnak (matematikai crossfade-nek) tűnik. Ezzel így nincs baj, mert elég körültekintőek voltunk a gondolatmenet megalkotásában, tehát ez a matematikai crossfade fizikailag is értelmes. Jól kivehető benne a nyomáshoz tartozó energia potenciál jellege, amit fentebb a bevezetett [Renderelés ... P] nyomáspotenciál ad. Lényegében ugyan arról van szó, csak picit más gondolatmenetben, és nézetben. Ezért szerkesztettem ezt a b.) pontot közvetlenül a nyomáspotenciált tárgyaló rész után. Az E=mc2 általános összefüggés a potenciális jellegű megvalósult energiáknak is természetesen tulajdonít tömegértéket. Ezt célszerű lokalizálni, hacsak lehet, ami a nyomás esetében nem okoz problémát. Egyszerűen az anyagi kontinuumok kis részdarabkáinak tömegéhez vannak felszámolva (+ nyomás) a saját nyugalmi (kinetikus + rugalmas), valamint mozgásukból adódó tömegük felett.

Marx György írta:"A nyomásból származó erő az anyagon belső munkát végez, megváltoztatja annak ... belső energiáját is, ..."

A kiszemelt anyagdarab-on, és -nak nem.. Az anyagdarabra ható (éppen nyomásból származó) mechanikus erő a környező anyagdaraboktól származó potenciális és rugalmas energiát alakítja át a kiszemelt anyagdarab kinetikus energiájává, vagy éppen fordítva.
Marx György írta:"... megváltoztatja annak ... belső energiáját is, ami a nyugalmi tömeg változásában jut kifejezésre."

Ez így nem jó.. Természetesen az anyagi kontinuum rendszernek a saját nyomásából származó potenciális energiája az egész rendszernek belső energiája, de az egyes darabjainak szempontjából annak az nem belső energiája, és nem a saját nyugalmi tömegének számít, hanem azon felül felszámítódó tömeg.

Tehát az anyagi kontinuumok relativisztikus dinamikájában nincs semmi misztikus "megváltozik a nyugalmi tömeg" dolog. (A pontmechanikában még úgy se..)

Egyszerűen arról van szó, hogy a nyomással kapcsolatos potenciális energiának is van tömegértéke, ami az általánosan igaz m = E/c2 alapján is adódik. A [Renderelés ... P] nyomáspotenciál skalármezője így összesítve "tömeget ad" az anyagi kontinuum darabkáinak. Ezt a skalármezőt maga az anyagi kontinuum sűrű sokasága szolgáltatja önmaga egyes kis darabjainak.

(Ennek semmi köze sincs a kvantumelmélet, vagy pontosabban fogalmazva a részecskefizika mértéktérelméleti Higgs-mechanizmusához, melyben egy nem eltűnő vákuumértékű önkölcsönható hipotetikus mezőt is tartalmazó Lagrange-sűrűség mértéktranszformációs azonos átalakítása "ad tömeget" a benne szereplő különféle egyéb részecskéknek.)

A [Renderelés ... \delta M = \mu(x)\,\delta V_0] az anyagi rendszer infinitezimális darabjának teljes "nyugalminak vett(!!) energiája" (tömegértékben), melynek matematikai és fizikai megfontolásból célszerű az "energia" szó helyett másikat adni, így (nyugalmi) entalpiának nevezzük inkább el. Az infinitezimális anyagdarab impulzusát ezzel kell számolni (nem pedig [Renderelés ... \mu_0(x)\,\delta V_0]-al). Ha az anyagi kontinuum, mint rendszer, véges méretű darabjára/részére, vagy egészére integrálunk, akkor [Renderelés ... M_M = \int{\delta M_M} = \int{\mu_M(x)\,\delta V}] a részrendszer, vagy a teljes rendszer "igazi" (nem nyugalmi erre utal az M index) entalpiája tömegértékben. A rendszer/részrendszer impulzusát ezzel az entalpiának megfelelő tömeggel kell számolni, és nem pedig a szokványos energiának megfelelővel. A kontinuum rendszer/részrendszer pontmechanikára redukált energiaimpulzus vektora tulajdonképpen így entalpiaimpulzus vektor. (Vigyázat! Az [Renderelés ... \int{}] jelen nincs jelölve az integrálási tartomány határa, de ez most nem rögzített a megfigyelő szerinti [Renderelés ... x] koordinátákkal. A kiszemelt konkrét anyagmennyiség a mozgása során viszi magával az integrálási tartomány határát, tehát az függ az integrálás szempontjából konstans [Renderelés ... t] időtől.) Ez pedig Marx György (2)-es képletével vág egybe (csak én, mint Novobátzky is, az infinitezimális anyagdarab(!!!)ra helytállóan a [Renderelés ... \delta] jelölést használom (amely most nem variációt jelent), és NEM pedig az infinitezimális változás(!!!) [Renderelés ... d] jelét), melyhez ő ezt írta:
Marx György írta:"A folyadék anyageloszlásának jellemzésére bevezetjük a [Renderelés ... \mu] nyugalmi tömegsűrűséget. Ezt a következőképpen értelmezzük. Valamely tartományban helyet foglaló teljes [Renderelés ... M] nyugalmi tömeg és annak [Renderelés ... \mu] nyugalmi sűrűsége közt álljon fenn mindig a következő kapcsolat: [Renderelés ... M=\int{\mu(x)\,dV_0}]. (2)"

Ebből még nem derül ki, hogy mihez rögzíti azt a tartományt. Az anyaghoz, vagy a tetszőleges [Renderelés ... x] koordinátázáshoz. Ez egyáltalán nem mindegy [Renderelés ... \frac{dM}{dt}] kérdésében. (Az aláhúzott rész az utóbbit sugallja.) Ráadásul a 94. oldal alján Cartesiusi metrikát használ, amit ki sem tud terjeszteni a valójában görbült téridő egy infinitezimális tartományánál nagyobbra. Görbületlenségről pedig szó sincs.


Marx egyszerűen nem is gondolta (pedig egyértelmű), hogy ha egy teljes rendszert mérlegre teszünk, akkor nem csupán kis tömegecskék kinetikus halmazát mérjük így, hanem azok kölcsönhatásait is, vagyis a kölcsönhatási energiák tömegegyenértékét is, tehát a benne lévő rugalmas energiát, és még a nyomást is tartalmazza(!!!) az [Renderelés ... M] tömeg. A rendszer teljes impulzusát ezzel kell számolni, nincs mit csodálkozni ezen (Novobátzky könyv 115. oldal (227) képlet). Nem kell ehhez még termodinamika sem, csak relativisztikus dinamika. Novobátzky is a könyvében a 114. oldal felétől a 115. oldal feléig tisztán relativisztikus dinamikát alkalmaz, és az alapján adódik az entalpia mikéntje.

Marx György "megváltozik a nyugalmi tömeg" szemlélete a nyomást belegyömöszöli a(z akár PONTszerű) merev anyagelembe, mint már valami anyagi eredetű nyugvó tömeget. Az anyagelem saját teljes nyugalmi tömegét, vagy ennek egy részét lényegében fizikálisan azonosítja vele. Említés és magyarázat nélkül használja fel az inkompresszibilitás [Renderelés ... \partial_k u_k = 0] egyenletét. (A cikkében a hidrodinamika a 94. oldal alját kivéve sehol sem inkompresszibilis.)

Valójában a nyomás az anyag állapotából ered, és nem pedig egy anyagtól független "nyomáspotenciálból".
Bár igaz, hogy ha sűrű folytonos anyag egy-egy kis elemi részét nézzük, akkor a környezetében lévő lényegesen nagyobb többség szinte már tőle függetlenül előállítja a fizikai körülményeket. Így a hidrodinamika a nyomást a tér összes pontját tekintetve már az anyagtól lényegében független "térként" (mezőként) kezeli, és azt potenciállá alakítva már úgy, mint valami magasabb rangú független [Renderelés ... P(x)] skalárteret (mezőt), melynek az egyes anyagi részecskék csak alá vannak vetve. Ezért olyan esetekben ahol az anyag valóban sűrű, és szinte (majdnem) úgy viselkedik, hogy rugalmas nyírófeszültségektől mentes, jól használható ez a szemlélet.


Néhány hiba az idézett cikkrészben:

(3)-ban nem kell az [Renderelés ... i].
(8)-ban középen [Renderelés ... dx] elől lemaradt a [Renderelés ... \sqrt{g}].
(13) és (15) után a képletek végén [Renderelés ... dx] helyett [Renderelés ... dV] kell.
Ezek a hibák inkább csak amolyan nyomdai jellegűek, vagy még inkább már a cikk szerkesztése alatt keletkeztek, és maradtak úgy.

Elvi hibák:
(10) nem megmaradási tétel, mert nem a kovariáns divergencia fejez ki megmaradást, hanem a sima parciális deriválással képzett divergencia, még ha görbült is a tér.
(18) csak a specrel keretein belül fejezi ki az írt megmaradást, ugyanis általánosan, vagyis az áltrelben a gravitációnak is van energiája és impulzusa. Az viszont más kérdés, hogy (10) egyenlet mellett mégis valahogyan fennállhat megmaradás... (Landau könyv 96. paragrafusa.)
(11) és (12) közepe pedig lényegében felesleges.

Marx György írta:"A folyadék áramlását leírja az [Renderelés ... u^i(x)] négyessebesség. Mivel most az [Renderelés ... x^i] koordináta független változó, [Renderelés ... u^i]-t nem [Renderelés ... x^i] deriváltjának tekintjük, hanem inkább az áramlásnak négyestérbeli irányát kijelölő egységvektornak.
(1) [Renderelés ... u_i(x)u^i(x) = -c^2]"

Az egységvektornak a távolságban mért hossza nem [Renderelés ... ic], hanem [Renderelés ... 1], vagy [Renderelés ... i]. (Előbbi térszerű, utóbbi időszerű a (+,+,+,-)-os szignatúrában.)
Az [Renderelés ... u^i] négyessebesség mindenképpen [Renderelés ... \frac{dx^i}{d\tau}], vagyis a négyeselmozdulás sajátidő szerinti deriváltja, aminek tényleg nem a hossza, hanem az iránya hordozza az információt.
Mivel [Renderelés ... d\tau = \frac{ds}{ic}], ezért [Renderelés ... u^i = \frac{dx^i}{d\tau} = ic\frac{dx^i}{ds}], és mivel [Renderelés ... dx^i] hossza [Renderelés ... ds], ezért [Renderelés ... \frac{dx^i}{ds}] csupán csak [Renderelés ... dx^i]-nek [Renderelés ... 1]-re normálása. Ebből rögtön következik, hogy a [Renderelés ... dx^i] négyeselmozdulás, és az [Renderelés ... u^i] négyessebesség négyesvektorok fizikai információtartalma azonos, és csak négyestérbeli irány jellegű.
Szépen ki is jön (1): [Renderelés ... u_i u^i = \frac{dx_i}{d\tau}\frac{dx^i}{d\tau} = ic\frac{dx_i}{ds}ic\frac{dx^i}{ds} = i^2 c^2\frac{dx_i dx^i}{ds^2} = -c^2\frac{ds^2}{ds^2} = -c^2].


Véleményem szerint ezek, és a kitárgyalt 94. oldal alján lévő "megváltozik a nyugalmi tömeg" elvi hiba mellett van még egy kevésbé feltűnő szintén elvi jellegű hiba. Ez esetleg belemerülve azért kevésbé feltűnő, mert mélyebb meggondolásokat igényel, viszont ezek felmerülése egyszerűen és hibásan egy mondattal el vannak fedve:
Marx György írta:"A variáció elvégzésekor vegyük figyelembe, hogy egy tetszőleges tartományban levő [Renderelés ... M] nyugalmi tömeg, valamint az abban uralkodó [Renderelés ... p] nyomás természetesen független a metrikaválasztástól. [Renderelés ... \mu]-nek [Renderelés ... g_{ik}]-tól való függését az (5) értelmező egyenlet szabja meg."

Mivel [Renderelés ... M] és [Renderelés ... p] invariáns skalárok, az igaz, hogy függetlenek a metrika"választástól", HA(!!!) a már megvalósult világon választunk koordinátázást, és így értve egy "metrikaválasztást". DE(!!!) a teljes variálással nem csak ez történik, hiszen magát a világot, azaz benne az összes eseményt is variáljuk. Viszont mivel mi egy megvalósult világon keresünk matematikai formát, összefüggéseket, így ezeket ([Renderelés ... M] és [Renderelés ... p]) most csak nem variáljuk. Ez azzal az esettel vág egybe, mikor a tömegpont mozgásának variációs hatáselvében a pálya egyenlete a kérdés, és ezért a pálya végpontjait nem variáljuk. A másik ezzel nem egybevágó eset a tömegpont mozgásának variációs hatáselvben, mikor a megvalósult pálya végpontjait variáljuk, és így keresünk matematikai összefüggéseket. (Landau I 43. paragrafus, Landau II 9. paragrafus 46. oldal.)
Szóval a cikk az idézett résznél egyszerűen azt sugallja, hogy azért nem variálódnak, mert invariáns skalárok. Na de rögtön feltűnik, hogy [Renderelés ... \mu] is invariáns skalár, mégis variálható, ahogyan pl. [Renderelés ... d\tau], [Renderelés ... ds], vagy [Renderelés ... ds^2] is.


A variációs elven alapuló levezetés (11), (12) és (14) nélkül, valamint egy kicsit összetettebb szemléletben megalkotva, így az imént leírt elvi hibákat kijavítva (plusz (13) első tagjának szó nélkül hagyott kétességét eldöntve) más képet ad:

Az anyagi folytonosságok (kontinuumok) fizikájában a tehetetlen nyugalmi tömeg integrális mennyiség. Jelöljük ezt [Renderelés ... M]-el, és a hármastérfogati sűrűségét [Renderelés ... \mu]-vel. Az összefüggés azonnal adódik:
(Szinkronban az idézett Marx cikkel, és Novobátzky könyvével, (+,+,+,-)-os szignatúrát használunk.)

[Renderelés ... M = \int{\mu\sqrt{\gamma}\,dV}], ahol [Renderelés ... dV = dx^1 dx^2 dx^3], és [Renderelés ... \gamma] a háromdimenziós tér metrikus tenzorának determinánsa,

melyre a következő áll: [Renderelés ... \gamma = -\frac{g}{g_{44}}], tehát [Renderelés ... \sqrt{\gamma} = \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{-g_{44}}}], és mivel [Renderelés ... \frac{1}{\sqrt{-g_{44}}} = \frac{dx^4}{cd\tau}], ezért [Renderelés ... \sqrt{\gamma} = \sqrt{g}\frac{dx^4}{cd\tau}].
(Landau könyv 84. paragrafusa.)

Ebben [Renderelés ... \tau] egy megfigyelő valódi sajátideje, aki az [Renderelés ... x^1, x^2, x^3 = const.] háromdimenziós térbeli pontban (világvonalon) van, tehát számára [Renderelés ... dx^1 = dx^2 = dx^3 = 0]. Bevezetve egy [Renderelés ... t = \frac{x^4}{c}] "koordinátaidőt" (ami nem valódi idő), [Renderelés ... dt = \frac{dx^4}{c}], és ezzel: [Renderelés ... \sqrt{\gamma} = \sqrt{g}\frac{dt}{d\tau}].

A cikkben szereplő (5) [Renderelés ... M = \int{\mu\sqrt{g}\frac{dt}{d\tau}\,dV}] láthatóan egyezik ezzel: [Renderelés ... M = \int{\mu\sqrt{\gamma}\,dV}].

Ezek térfogati integrálok, melyek tartományhatárát a (fizikailag nem valós) térváltozók, azaz a koordináták értékeiben rögzítjük. Viszont [Renderelés ... \int{\mu\sqrt{g}\frac{dt}{d\tau}\,\delta V} = \int{\mu\sqrt{\gamma}\,\delta V} = \int{\mu\,\delta V_0}] konkrét véges méretű anyagdarabra vonatkozó integrálok, melyek tartomány határát fizikailag valós anyag(beli)határ rögzíti. (Ebben a pár képletben [Renderelés ... \delta] nem variációt jelent, hanem az anyagdarabra vonatkoztatást jelöli.) Ez lényeges különbség, ami nem csak szemléletbeli, hanem matematikai is. Ugyanis [Renderelés ... dV = dx^1 dx^2 dx^3] nem függvénye [Renderelés ... t]-nek, viszont [Renderelés ... \delta V = \delta V(t)] igen. (Novobátzky könyv 99. oldal (194) térfogati dilatáció képletek.)

Az elosztott [Renderelés ... M] tömeg infinitezimális (de nem pontszerű) részei eseményszerűen foglalnak helyet a "szubsztanciális" rendszerekben a háromdimenziós térben, és a világot ilyen szempontból nem szeretnénk variálni, azaz ilyen szubsztanciális nyugalmi tömeget nem kívánunk sem hozzáadni, sem elvenni a világból, hanem inkább a már benne lévő eloszlott tömeg, azaz az anyagi kontinuum relativisztikus dinamikájának mibenlétét keressük.

Tehát, az [Renderelés ... M] tömeget nem variáljuk, variációja nulla: [Renderelés ... \delta M = 0].

Az elosztott [Renderelés ... M] tömeg infinitezimális (de nem pontszerű) részei részben nyugalmi tömegegyenértékek csupán, amik a "szubsztanciális", azaz az elemi anyagdarabok rendszerében általában nem nyugszanak, és nem is csak nyugvó pontszerű tömegek "relativisztikus" értékeinek összegződése, hanem tartalmazza a kölcsönhatási energiák tömegegyenértékét is.

Ezért [Renderelés ... Mc^2]-et "energia" helyett nevezzük inkább entalpiának, [Renderelés ... \mu c^2]-et pedig entalpiasűrűségnek, [Renderelés ... \mu]-t pedig az entalpiasűrűség tömegegyenértékének.

Kérdés, hogy hol van ebben a dinamikus mechanikai rendszerben a kölcsönhatás??
Hát nyilván a dilatáció általi deformáció hordozza, na de ezt azért mégis konkretizálni kell.
Azért ilyen körülményes az egész dolog (ahogy az a megfogalmazásokból is érezhető), mert nem lehet egyszerűen szétválasztani/elhatárolni a kontinuum mélyén sem az anyagot pontszerű részecskékre, és egy ténylegesen köztük lévő/zajló kölcsönhatásra. Ez nem részecskefizika, hanem egy relativisztikus kontinuum fizika, melyben éppen lehetőséget keresünk a mechanika alapjainak elméleti megfogalmazására.
Találnunk kell valamilyen mennyiséget, ami az elmélet keretein belül maradva ezt, vagy legalábbis egy egyszerűbb könnyített formáját jól leírja. (Most még nem világlik ki, de itt tulajdonképpen izotróp jellegű kölcsönhatásra gondolok...)
Nézzük meg, mik a matematikai lehetőségek:

[Renderelés ... \mu] tehát, tartalmazza a kontinuum mechanikához szükséges kölcsönhatást is.
Akkor bontsuk fel ezt egy határesetben nyugvásból származó [Renderelés ... \epsilon/c^2] tömegsűrűségére, és egy határesetben fényszerű, ütköző kölcsönhatásra, melyet [Renderelés ... p] fog jelölni. Ebből már kikövetkeztethető, hogy [Renderelés ... p] invariáns skalár mennyiség (Novobátzky könyv 26. Fénynyomás című pontjában leírtak alapján.) Az ütközés eseményt jelent, és a világot ilyen szempontból nem szeretnénk variálni, azaz rögzítjük az események meglétét, hogy az "egyes részecskék" találkozgatnak egymással (de könnyítésként feltételezve, hogy izotróp irányeloszlásban). Ez némiképp azzal analóg, mikor a hagyományos legkisebb hatás elvben rögzítjük a pálya egy kezdő és végpontját.

[Renderelés ... \mu c^2 = \epsilon + p], vagy [Renderelés ... \mu = \frac{\epsilon + p}{c^2}]. Ahol láthatóan [Renderelés ... p] energiasűrűség jellegű (ahogy [Renderelés ... \epsilon] is).

Az egyik idealizált határeset, amikor [Renderelés ... p = 0], és [Renderelés ... \mu = \epsilon/c^2 = \mu_0], vagyis az "egyes részecskék" sosem találkoznak egymással, és [Renderelés ... \mu_0] teljesen nyugvó tömegsűrűséget jelent. A szubsztancia ekkor inkoherens porszerű, de mégis folytonos anyag lenne.
A másik idealizált határeset a fényszerűség, amikor a Viriáltételből következően [Renderelés ... p = \frac{\epsilon}{3}] lenne.

A két határeset között az anyagi kontinuumban [Renderelés ... \epsilon = \mu_0 c^2 + r], vagyis [Renderelés ... \mu = \mu_0 + r/c^2 + p/c^2], ahol [Renderelés ... r] a rugalmas energia nyugalmi sűrűségét jelenti. Az első határesetben tehát [Renderelés ... r = 0]. A második határeset felé tartva [Renderelés ... \mu_0 \rightarrow 0], így [Renderelés ... r \rightarrow \epsilon \rightarrow 3p], ahol [Renderelés ... r > 3p] mindig igaz kell legyen, különben a hatás terjedési sebessége nagyobb lenne [Renderelés ... c]-nél.


A legkisebb (pontosabban stacionárius) hatás elvéhez folyamodunk:

[Renderelés ... S = \int_a^b{L' dt'}], ahol [Renderelés ... L'] jelöli a hagyományos Lagrange-függvényt, és [Renderelés ... t'] a hagyományos "valódi" időt (amit fentebb [Renderelés ... \tau]-val jelöltünk), azaz nem koordinátaidőt, hanem egy bizonyos megfigyelő sajátidejét, aki a rendszert az adott helyen szemléli, és órájával az ottani események között eltelt időt méri. Tulajdonképpen ezt a szemlélőt az infinitezimális anyagdarabhoz rögzítjük, és ugye már megtárgyaltuk, hogy ez nem értelmezhető a kölcsönhatásban álló anyagrészecskék nyugalmi rendszerének, csupán csak az infinitezimális anyagdarab (mondhatni) nyugalmi rendszerének.
Az [Renderelés ... S] hatás invariáns skalár kell legyen. Mivel ebben a szemléletben [Renderelés ... L'] még a pontszerű anyagrészecskére vonatkozó Lagrange-függvény, és a nyugalmi rendszer is erre vonatkozik, így az egyenletből látható, hogy [Renderelés ... L'] nem invariáns skalár.

Térelméletről lévén szó, nekünk ez így még egyáltalán nem jó. A Lagrange-függvényt Lagrange-sűrűséggel kell megadnunk, és az egész rendszerre integrálnunk kell, ami a világ esetén a teljes hármas térfogat. Ebben a (már térelméleti) szemléletben már nem a pontszerű anyagrészecske a főszereplő, hanem az infinitezimális anyagdarab, tehát az [Renderelés ... L'] a következő lesz:

[Renderelés ... L' = \int_{-\infty}^{\infty}{L\,dV_0} = \int_{-\infty}^{\infty}{L\sqrt{\gamma}\,dV} = \int_{-\infty}^{\infty}{L\sqrt{g}\frac{dt}{d\tau}\,dV}], ahol [Renderelés ... L] a Lagrange-sűrűség.

Ezt behelyettesítve, kapjuk:
(A megfigyelő [Renderelés ... t'] sajátideje átírandó [Renderelés ... \tau]-ra, valamint ne feledjük, hogy [Renderelés ... t] csupán "koordinátaidő", és [Renderelés ... cdt = dx^4].)

[Renderelés ... S = \int_a^b{\left(\int_{-\infty}^{\infty}{L\sqrt{g}\frac{dt}{d\tau}\,dV}\right)d\tau} = \int{L\sqrt{g}\,dVdt} = \frac{1}{c}\int{L\sqrt{g}\,dVcdt} = \frac{1}{c}\int{L\sqrt{g}\,d\Omega}], ahol [Renderelés ... d\Omega = dx^1 dx^2 dx^3 dx^4].

A jelölések egyszerűsítése végett az integrálási tartományok határait már nem jelöljük, de az elvnek megfelelően értjük.

[Renderelés ... S = \frac{1}{c}\int{L\sqrt{g}\,d\Omega}].

Mivel itt [Renderelés ... \sqrt{g}\,d\Omega] már invariáns skalár, így az [Renderelés ... L] Lagrange-sűrűség is az.


Kérdés, hogy mi legyen a Lagrange-sűrűség? Erre Pl. a következő egyszerű lehetőségek vannak:

a.) [Renderelés ... \epsilon],
b.) [Renderelés ... \mu c^2],
c.) [Renderelés ... \epsilon - p],
d.) [Renderelés ... \mu c^2 + p].

Az utolsó kettő kizárható, mert ezek olyan új és hasztalan mennyiségek, melyekről idáig nem volt szó, tehát semmi értékelhető szerepük, vagy kapcsolatuk nincs.
A b.) lehetőséget azért kell elvetnünk, mert ezzel az [Renderelés ... S] hatás és variációjának kifejezése az [Renderelés ... M] tömeg és variációjának kifejezésétől csak egy dimenziószámban térne el, ami így nem szolgálna hasznos eredménnyel, valamint [Renderelés ... p] is kiküszöbölődne.
Marad tehát egyedül az a.) lehetőség: [Renderelés ... L = \epsilon = \mu c^2 - p].

Ez megegyezik Marx György (7) egyenletével, csak az ő szemlélete egyáltalán nem jó..
(Gondolok itt arra, hogy ő az [Renderelés ... M] tömeget, és [Renderelés ... \mu] tömegsűrűséget teljes mértékben kinetikusnak gondolja, ami nyilvánvalóan elvileg hibás, valamint nem egyezik Novobátzky tanaival.)

A variációs hatáselv szerint (a levezetést mellőzve) az energiaimpulzus-tenzort a következő alakban kell keresni:

(9) [Renderelés ... \delta S = \frac{1}{2c}\int{T_{ik}\sqrt{g}\,\delta g^{ik}d\Omega}], ahol [Renderelés ... {T_i^k}_{;k} = 0], ami a kovariáns mozgásegyenletet jelenti.

Ennek levezetése szintén a mechanika megalapozásához tartozik, melyet majd egy következő hozzászólásomban teszek meg. Itt most a relativisztikus anyagi kontinuum energiaimpulzus-tenzorának inkább már csak megalkotása a cél.

Tehát ilyen alakra kell hozni az [Renderelés ... S = \frac{1}{c}\int{\epsilon \sqrt{g}\,d\Omega}] egyenletet. Írjuk fel a variációját:

[Renderelés ... \delta S = \frac{1}{c}\int{\delta\left(\epsilon \sqrt{g}\right)d\Omega}], mert [Renderelés ... \delta d\Omega = 0]. Elvégezzük az integráljel alatt a variálást:

[Renderelés ... \delta S = \frac{1}{c}\int{\left(\epsilon\,\delta\sqrt{g} + \sqrt{g}\,\delta\epsilon\right)d\Omega} = \frac{1}{2c}\int{2\left(\epsilon\,\delta\sqrt{g} + \sqrt{g}\,\delta\epsilon\right)d\Omega}].


Nézzük előbb [Renderelés ... g] variációját:

[Renderelés ... \delta g = \frac{\partial g}{\partial g_{ik}} \delta g_{ik} = [g_{ik}] \delta g_{ik} = g\,g^{ik} \delta g_{ik} = -g\,g_{ik} \delta g^{ik}], ahol [Renderelés ... [g_{ik}]] a [Renderelés ... g_{ik}]-nak (előjeles) aldetermináns mátrixát jelöli. (Transzponálni nem kell a szimmetria miatt.)

Az utolsó átalakításhoz pusztán felhasználtuk az [Renderelés ... A^{ik}\delta g_{ik} = -A_{ik}\delta g^{ik}] képletet.

Majd ebből [Renderelés ... \sqrt{g}] variációja [Renderelés ... \delta g = \delta(\sqrt{g}\sqrt{g}) = 2 \sqrt{g}\, \delta \sqrt{g}] alapján:

[Renderelés ... \delta \sqrt{g} = \frac{1}{2} \frac{\delta g}{\sqrt{g}} = -\frac{1}{2} \sqrt{g}\, g_{ik} \delta g^{ik}].

[Renderelés ... \epsilon/c^2] variációját a [Renderelés ... \delta M = 0] egyenletből tudjuk meghatározni:

[Renderelés ... \delta M = \int{\delta\left(\mu\sqrt{\gamma}\right)dV}], mert [Renderelés ... \delta dV = 0]. Elvégezzük az integráljel alatt a variálást:

[Renderelés ... \delta M = \int{\left(\delta\mu\,\sqrt{\gamma} + \mu\,\delta\sqrt{\gamma}\right)dV} = 0]. Mivel [Renderelés ... p]-t nem variáljuk, ezért az első tagban [Renderelés ... \delta\mu = \delta\frac{\epsilon + p}{c^2} = \delta\frac{\epsilon}{c^2}] lesz:

[Renderelés ... \delta M = \int{\left(\delta\frac{\epsilon}{c^2}\,\sqrt{\gamma} + \mu\,\delta\sqrt{\gamma}\right)dV} = 0].

A két tagot azonos mennyiség variációjával szeretnénk felírni, hogy azt ki tudjuk emelni, mert így egy szükséges összefüggéshez jutunk.
Lényeges és kulcsfontosságú meggondolásokból következik, hogy mi lesz ez az azonos, vagyis közös mennyiség.
Marx György (13)-as egyenlete ezek nélkül kérdéses, és ő mélyen hallgat róluk...

A négydimenziós téridő [Renderelés ... g^{ik}] inverz metrikus tenzora közvetlen, és részében azonossági kapcsolatban van a hármastér [Renderelés ... \gamma^{\alpha\beta}] inverz metrikus tenzorával: (Landau könyv 306. oldal.)

[Renderelés ... \gamma^{\alpha\beta} = g^{\alpha\beta}], ahol az α és β indexek csak az 1, 2, 3 értékeket veszik fel.

Mivel a két tag egy variációból ered, ezért a keresett közös mennyiség ez előbbi kulcsfontosságú összefüggés miatt nem az alsóindexes metrikus tenzor variációja, hanem a felsőindexes, azaz az inverz metrikus tenzoré:

[Renderelés ... \delta M = \int{\left(\frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik}\sqrt{\gamma} + \mu\,\delta\sqrt{\gamma}\right)dV} = 0].

Érdemes megjegyezni, hogy a teljes [Renderelés ... \delta\frac{\epsilon}{c^2}] variációban [Renderelés ... \frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik}] mellett [Renderelés ... \frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial(\partial_l g^{ik})}\delta(\partial_l g^{ik})] tag, és [Renderelés ... g^{ik}] magasabb rendű deriváltjaitól való függésből származó tagok is vannak. Itt azonban ezek nem lépnek fel, mert [Renderelés ... \sqrt{\gamma}] nem függ [Renderelés ... g^{ik}] deriváltjaitól. Azok variációit nem tudnánk kiemelni az összeg mindkét tagjából, tehát ha ezek nem volnának nullák, akkor nem tudnánk tartani a [Renderelés ... \delta M = 0] egyenletet. Egyszerűen fogalmazva, ez az egyenlet nem engedi fellépni [Renderelés ... g^{ik}] deriváltjainak variációit, tehát: [Renderelés ... \delta\frac{\epsilon}{c^2} = \frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik}].


[Renderelés ... \sqrt{\gamma}] variációja pedig a következő meggondolásokból egyszerűen következik:
A [Renderelés ... g] determináns variációjára a [Renderelés ... \delta g = -g\,g_{ik} \delta g^{ik}] képletet kaptuk.
Elég csak a diagonális alakkal foglalkozni, mert az így kapott összefüggés változatlan, tehát nemdiagonális alak esetén is ugyan az.

A négydimenziós metrikus tenzor diagonális alakja: [Renderelés ... \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}], a háromdimenziósé: [Renderelés ... \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}].

Utóbbi [Renderelés ... \gamma] determinánsának variációját a négydimenziós térben egyszerűen úgy kaphatjuk meg [Renderelés ... \delta g] képlete alapján, ha benne a [Renderelés ... g_{ik}]-t diagonális alakban tekintve eltüntetjük belőle a [Renderelés ... g_{44} = -1] komponenst.

Erre egyedül az ugyanekkor szintén diagonális alakú [Renderelés ... \frac{u_i u_k}{c^2} = \begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}] alkalmas.

Tehát [Renderelés ... \gamma] variációja: [Renderelés ... \delta\gamma = -\gamma\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\delta g^{ik}]. Amiből ugyan úgy, ahogy [Renderelés ... g]-nél következett:

[Renderelés ... \delta \sqrt{\gamma} = -\frac{1}{2} \sqrt{\gamma}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\delta g^{ik}].


Ezeket behelyettesítve [Renderelés ... \delta M = 0] egyenletbe, kapjuk:

[Renderelés ... \delta M = \int{\left[\frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik}\sqrt{\gamma} - \mu\frac{1}{2}\sqrt{\gamma}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\delta g^{ik}\right]dV} = 0].

Célunkat elértük, jobboldalt csak egyazon mennyiség variációja szerepel, így azt (és amit még lehet) kiemelhetjük:

[Renderelés ... \delta M = \int{\left[\frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}} - \frac{1}{2}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\mu\right]\sqrt{\gamma}\,\delta g^{ik}dV} = 0].

Ami csak akkor lehet nulla, ha a szögletes zárójelben lévő kifejezés az integrálás teljes tartományán mindenütt nulla, azaz:

[Renderelés ... \frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}} = \frac{1}{2}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\mu]. Ide behelyettesítjük [Renderelés ... \mu = \frac{\epsilon + p}{c^2}] kifejezését:

[Renderelés ... \frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}} = \frac{1}{2}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\left(\frac{\epsilon + p}{c^2}\right)]. Beszorzunk [Renderelés ... \delta g^{ik}]-val, így a baloldal [Renderelés ... \frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik} = \delta\frac{\epsilon}{c^2}] lesz:

[Renderelés ... \delta\frac{\epsilon}{c^2} = \frac{1}{2}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\left(\frac{\epsilon + p}{c^2}\right)\delta g^{ik}].


Visszatérünk a hatás variációjához: [Renderelés ... \delta S = \frac{1}{2c}\int{2\left(\epsilon\,\delta\sqrt{g} + c^2 \sqrt{g}\,\delta\frac{\epsilon}{c^2}\right)d\Omega}]. Behelyettesítjük [Renderelés ... \delta\sqrt{g}], és [Renderelés ... \delta\frac{\epsilon}{c^2}] kapott kifejezéseit:

[Renderelés ... \delta S = \frac{1}{c}\int{2\left[-\epsilon\,\frac{1}{2}\sqrt{g}\,g_{ik}\delta g^{ik} + c^2 \sqrt{g}\,\frac{1}{2}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\left(\frac{\epsilon + p}{c^2}\right)\delta g^{ik}\right]d\Omega}]. Kiemelve [Renderelés ... \frac{1}{2}\sqrt{g}\,\delta g^{ik}]-t:

[Renderelés ... \delta S = \frac{1}{2c}\int{\left[-\epsilon\,g_{ik} + c^2\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\left(\frac{\epsilon}{c^2} + \frac{p}{c^2}\right)\right]\sqrt{g}\,\delta g^{ik}d\Omega}]. Az első tag jól láthatóan kiesik, majd [Renderelés ... c^2] is:

[Renderelés ... \delta S = \frac{1}{2c}\int{\left[\frac{\epsilon}{c^2}\, u_i u_k + p\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\right]\sqrt{g}\,\delta g^{ik}d\Omega}]. Vagy átrendezve a szögletes zárójel tartalmát:

[Renderelés ... \delta S = \frac{1}{2c}\int{\left[\left(\frac{\epsilon + p}{c^2}\right) u_i u_k + pg_{ik}\right]\sqrt{g}\,\delta g^{ik}d\Omega}].

A szögletes zárójelben maradt kifejezés pedig a külön most le nem vezetett (9) [Renderelés ... \delta S = \frac{1}{2c}\int{T_{ik}\sqrt{g}\,\delta g^{ik}d\Omega}] alapján:

[Renderelés ... T_{ik} = \frac{\epsilon}{c^2}\, u_i u_k + p\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)]. Vagy átrendezve:

[Renderelés ... T_{ik} = \left(\frac{\epsilon + p}{c^2}\right) u_i u_k + pg_{ik} = \mu u_i u_k + pg_{ik}]. Ami láthatóan egyezik Marx György (17) eredményével,

csak itt helyesen [Renderelés ... \mu] valójában nem nyugvó tömegsűrűség, és ezért [Renderelés ... \frac{\epsilon}{c^2} \neq \mu_0], mert az abszolút merevséget jelentene, ami ellentmond a relativitáselméletnek még infinitezimálisan kicsi esetben is. Következik, hogy nincs ilyen ideális folyadék, és nyilván nem az összenyomhatatlanságra kell alapozni a relativisztikus dinamikát. Azt legfeljebb egy körültekintően megalapozott helytálló gondolatmenettel matematikai vizsgálat céljából csak egy éppen kiszemelt anyagdarabra számítási célszerűségből köthetjük ki, ahogy azt fentebb egy b.) pontban tárgyaltam.

Az utóbbi képletek alapján a rugalmas nyírófeszültségektől mentes, és ezzel együtt izotróp kölcsönhatást tartalmazó anyagi kontinuum energiaimpulzus-tenzorának alakja nyugalmi rendszerben, és Galilei-féle koordináták esetén a következő:

(+,+,+,-) szignatúra, valamint alsó-felső indexes forma esetén [Renderelés ... T_{ik} = \begin{bmatrix}p&0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&\epsilon\end{bmatrix}], ahol [Renderelés ... \epsilon = \mu_0 c^2 + r].

Látható, hogy ebben az izotróp esetben [Renderelés ... p] háromszorosan elfajult sajátérték. Folyadékokra és gázokra ez érvényes. Szilárd anyag esetében a három rugalmas főfeszültség nem egyforma értékű, nincs elfajulás. A rugalmas nyírófeszültségek ezekből a különbségekből adódnak a koordináta-rendszer térszerű tengelyirányainak különböző megválasztásai esetén. Ha azokat a főfeszültségi irányokba választjuk, akkor szintén eltűnnek a nyírófeszültségek:

(+,+,+,-) szignatúra, valamint alsó-felső indexes forma esetén [Renderelés ... T_{ik} = \begin{bmatrix}\sigma_1&0&0&0\\0&\sigma_2&0&0\\0&0&\sigma_3&0\\0&0&0&\epsilon\end{bmatrix}], ahol [Renderelés ... \epsilon = \mu_0 c^2 + r].

Az entalpia sűrűsége tömegegyenértékben ekkor: [Renderelés ... \mu = \frac{\epsilon + (\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3)/3}{c^2}].

A relativitáselméletben a nyomásnak pozitív értéke van, ahogy az energiasűrűség is mindig csak pozitív lehet. A negatív értéknek nincs értelme. (Landau könyv 353. oldal: "Megjegyezzük, hogy [Renderelés ... T_{00}] komponens mindig pozitív", (94,10). Itt ennek [Renderelés ... T_{44}] felel meg.) Ha pozitív energiasűrűséghez tartozna negatív nyomás, az a fényszerű határesetből is láthatóan azt állítaná, hogy a fény negatív impulzust szállít (vonósugár). Ennek azonban az ellentettje igaz (lökősugár). (Az persze egészen más kérdés, hogy technikailag trükközve esetleg létre lehet-e hozni fénnyel, vagy ami ugyan az, EM hullámokkal valamiképpen "vonósugár"-hatást... (Ezt a megjegyzést csak azért írtam, mert a neten fellelni ezzel kapcsolatban néhány bizarr írást..) Itt most a fény, vagyis az elektromágneses hullám fizikai alaptulajdonságáról van szó.)

Elgondolkodtató, hogy az előbb felírt (fizikailag szabályos) energiaimpulzus-tenzorok, mint egyszerűen egy ilyen tenzornak a főátlóra transzformált formában a legáltalánosabb alakja, tehát a nem elfajult sajátértékes eset, és az előtte felírt (fizikailag szintén szabályos) háromszorosan elfajult sajátértékes speciális (szokványos) eset olyan összehasonlításban, melyben a négy sajátértékük összegéből adódó skalárinvariánsuk megegyezik úgy, hogy még a negyedik sajátértékük is megegyezik: [Renderelés ... \sigma_1+\sigma_2+\sigma_3+\epsilon = p+p+p+\epsilon], mégis mit jelent a különbségük, tehát a:

[Renderelés ... \begin{bmatrix}\sigma_1-p&0&0&0\\0&\sigma_2-p&0&0\\0&0&\sigma_3-p&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}] tenzor.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Szabiku vizsgálódásai

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.12.06. 00:02

Az Ifjú Einstein filmben is volt ilyen. :D
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Előző

Vissza: Zárt osztály

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 1 vendég

cron