Szabiku vizsgálódásai

Önjelölt zsenik és fórumszabályzat-sértők lezárt témái, mindenki okulására megőrizve.

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.08.31. 12:58

Elfogadom, és köszönöm a bocsánat kérést.

dgy írta:De attól még tény, hogy az "idézett" képlet az eredeti könyvben nem úgy nézett ki, ahogy "idézted". Furcsa elképzelések az idézésről és a tekintélyekre hivatkozásról.

Igen, igaz, átírtam bennük a [Renderelés ... \xi]-ket [Renderelés ... \delta x]-ekre. Ez csupán jelölésváltás volt, semmi egyéb.

dgy írta:A [Renderelés ... \delta x_k] mennyiség nem variációja egy "alsó indexes koordinátának"

Így tartom én is, hiszen nincsenek alsóindexes koordináták.
[Renderelés ... \delta x_i]-t így kell érteni: [Renderelés ... (\delta x)_i]
Nem pedig így: [Renderelés ... \delta(x_i)]
Az előbbiben a zárójel viszont nyugodtan elhagyható, mert ez utóbbi úgyis értelmetlen, nem létezik.

dgy írta:...a kovektor nem vektor, a kotangenstér metrikus tenzor nélkül is létezik (ahogy azt írtam is), de a [Renderelés ... dx_k] alsó indexes mennyiséget már a metrikus tenzor HOZZA LÉTRE (az objektum korábban is létezett, de nem volt SEMMI köze az [Renderelés ... x] koordinátához).

(első aláhúzás:) Igen, én is ezt akartam mondani a transzformációelmélettel.
No de ha az a tér (vagy halmaz) létezik, akkor nyilván elemei is vannak.
(második aláhúzás:) Így ezek az elemek már létre vannak hozva a transzformációelmélet által.
És én úgy gondolom (veled ellenben), hogy a metrikus tenzor így már csak egyértelmű oda-vissza összerendelést (párokat) hoz létre mennyisége által a két tér (vagy halmaz) elemeiből.

Szerintem jó ez a szemlélet, de persze fordítva is megy a dolog:

Nincs semmilyen görbültség (kezdetben), van véges méretű többdimenziós "paralelepipedon", melynek megfelelő élei általános helyzetű, de még egyenes tengelyeket határoznak meg. Ebből adódik a (két duális, a) vektortér illetve kovektor-tér. Majd ezt az egész struktúrát leszorítjuk infinitezimális mérettartományra. A "paralelepipedon" így térfogatelem lesz, és vegyük észre, hogy ezzel egy új teret generáltunk, a metrikus tenzor pedig lehet minden pontban más-más értékű. A vektortér ily módon már infinitezimális elemei pedig egy koordinátázást adnak az új, és sokkal általánosabb, akár görbült tér (mint sokaság) felett. Ezután észre lehet venni, hogy a koordinátázásnak nincs semmilyen meghatározó szerepe a sokaság szerkezete felett. Nyugodtan át lehet térni más koordinátákra, és észre lehet venni az egészben a transzformációelméletet.

Ebből érezhető, hogy az ellenvéleményem itt csak más irányú szemlélet.

Az utóbbi aláhúzás azért nem teljesen igaz, inkább csak úgy kell érteni mint egy "egyszerű" első bekoordinátázást. A koordinátázás megváltoztatása pl. valamilyen koordinátatranszformációval, már azonban kényszerítheti a tényleges metrika, vagyis inkább jobban mondva a téridő-sokaság szerkezetének megváltozását is. Ugyanis a metrikus tenzor tetszőleges infinitezimális variációja a koordináták infinitezimális variációjából áll elő (az említett Landau II. (94,2) és (94,3) képletek szerint).


dgy írta:Variálni nem úgy kell, ahogy "szeretnénk", bizonyos mennyiségeket állandónak tekintve, máskor meg nem, hanem ennek objektív szabályai vannak.

A variálás matematikai szabályából adódik, hogy mikor mit kell, állandónak tekinteni. Viszont, hogy mikor mit tekintünk szabadnak, azaz a variálás szemszögéből adottnak, és ezért nem variáljuk, az más kérdés. Lentebb be is mutatom, hogy ez a célunktól is függ. A variálás első lépésben egyszerűen fittyet hány arra, hogy milyen matematikai konstrukciója van, amiben alkalmazzuk. Egyszerűen a differenciálképzés szabályát követjük benne, és közben figyelünk arra, hogy az eredetileg különálló tagoknál, az adódó koefficiensek azonos variációhoz vezessenek, ne pedig az ellentetthez. Valamint nyilván a keletkező tagokban a mennyiségeket, már nem lehet akárhogy és különféleképpen átírni alternatív alakokra, mert azzal elronthatjuk a már követett szabályt (ezt most nem példázom, de könnyen észrevehető...).

Összeget tagonként variálunk, mint ahogy az összeg differenciálját is az egyes tagok differenciáljainak összege adja:

[Renderelés ... d(a+b+c) = da+db+dc]. Tehát:

[Renderelés ... \delta(a+b+c) = \delta a + \delta b + \delta c].

Szorzatban álló mennyiségek egymástól függetlenül variálandók, mert szorzat differenciálját is tényezőnként külön képezzük, majd ezeket összegezünk:

[Renderelés ... d(abc) = bc\,da + ac\,db + ab\,dc]. Tehát:

[Renderelés ... \delta(abc) = bc\,\delta a + ac\,\delta b + ab\,\delta c].

(A hasonlóság szinte teljes, de a variáció mégis annyiban más, hogy az tetszőleges, azaz minden lehetőséget felölel, és bizonyos követelésekkel állítjuk majd szembe a variációs egyenleteinket. Még a differenciált valamilyen okból adódónak tekintjük már eleve, és ennek megfelelően dolgozunk vele...)

Ebbe idáig még nem szólt bele, hogy [Renderelés ... a], [Renderelés ... b], és [Renderelés ... c] milyen kapcsolatban vannak egymással. Viszont az ezután következő lépések, és az egész variáció trükkös matematikai felhasználása nagyon szép összefüggések felállítására alkalmas.

(Érdekes, hogy például egy komplex mennyiség és konjugáltja egymással elég meghatározó kapcsolatban vannak, mégis "általános koordinátákként" a variálás során egymástól függetlennek kell tekinteni ezeket. (Landau III. 77. oldal (20,1) és az utána levő számozatlan képletek, Landau IV. 55. oldalon (10,9)-ből (10,12), 71. oldalon (14,5).)
(Persze ez csak egy hasonló dolog a szabadnak, nem szabadnak tekintett vitatott mennyiségek miértjéhez...))

Visszatérve: Ha mondjuk [Renderelés ... b] és [Renderelés ... c] szerint nem szeretnénk variálni, mert pl. azokat adottnak tekintjük, akkor a középső és utolsó tag egyszerűen elhagyandó. Ekkor mondunk olyat, hogy a baloldalon álló valami [Renderelés ... a] szerinti variációja. Erre jó példa az idáig sokat gyötört távolságnégyzet metrikus tenzor szerinti variációja:

[Renderelés ... \delta ds^2 = \delta(g_{ik} dx^i dx^k) = dx^i dx^k \delta g_{ik}]. Ami így nem teljes.

[Renderelés ... dx^i] és [Renderelés ... dx^k] pl. azért adottak, mert most nem a pályát szeretnénk variálni, hanem a tér szerkezetét.
Nagyon fontos ezzel kapcsolatban a következő meggondolás:
A [Renderelés ... q] "általános koordináták" az [Renderelés ... S] hatású (egész világ) rendszert meghatározó mennyiségek, melyen (és most idézek a Landau könyvből a 351. oldalról:) "Koordinátatranszformációt végezve, [Renderelés ... q] mennyiségek [Renderelés ... \delta q]-val változnak. [Renderelés ... \delta S] kiszámításánál azonban el lehet hagyni a [Renderelés ... q] megváltozásával kapcsolatos tagokat. Ezek a tagok az anyagi rendszer mozgásegyenletei miatt kölcsönösen kiejtik egymást, hiszen ezeket a mozgásegyenleteket éppen azzal definiáltuk, hogy [Renderelés ... S]-nek [Renderelés ... q] szerinti variációja nulla legyen. Ezért elegendő a [Renderelés ... g_{ik}] megváltozásának megfelelő tagokat leírni."

Ilyen pl. Marx György fent idézett cikkének 2. paragrafusa. (Az ebben elkövetett problémákra is nemsokára részletesen rátérek...)

Ha azonban a legkisebb hatás variációs elve alapján pl. a négyestérbeli szabad mozgás lehetséges pályavonalaira (geodetikusok) keresünk összefüggést, akkor az előbb még adottnak vett [Renderelés ... dx^i] lehetséges pályát jelentő mennyiségeket is variáljuk. A követelés az, hogy [Renderelés ... \int_a^b{ds}] szélsőértéket vegyen fel, azaz:

[Renderelés ... \delta\int_a^b{ds} = \int_a^b{\delta ds} = 0].

(utólagos NOTE: Itt most nem részleteztem azokat a meggondolásokat, hogy a [Renderelés ... ds] négyestér intervallum lehet térszerű, időszerű, fényszerű, és a szignatúrától függően is valós, vagy képzetes. Szigorúan véve a legkisebb hatás elvében ezek alapján is kell igazítani az [Renderelés ... S] hatás mennyiségéhez az egyenletet, de a lényegen, hogy variációs módszerrel a stacionárius (azaz geodetikus) vonalakra keresünk valamilyen összefüggést, ez nem változtat. Ezért kifejezetten a variációs elv kalkulációs menetére koncentrálva kerülöm most az [Renderelés ... S] jelölést, és így csak olyan általános követelést jelent az utóbbi egyenlet, mely az összes stacionárius vonalra érvényes.)

Induljunk ki [Renderelés ... ds^2] variációjából: [Renderelés ... \delta ds^2 = 2ds\delta ds], amiből: [Renderelés ... \delta ds = \frac{\delta ds^2}{2ds}].

Ezt felhasználva egyenletünk a következő alakba írható: [Renderelés ... 0 = \int_a^b{\frac{\delta ds^2}{2ds}}].

Nyugodtan egyszerűsíthetünk [Renderelés ... ds]-el, mert semmi szükség rá, de az [Renderelés ... \frac{1}{2}]-et tartsuk meg:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\frac{1}{2}\delta ds^2}].

(utólagos NOTE: Ez az egyszerűsítés nem azt jelenti, hogy [Renderelés ... \frac{1}{ds}] kiemelhető az integráljel elé, és [Renderelés ... ds]-el beszorozva tűnik el. (Bár így is majdnem elképzelhető volna, mert a (variált) pálya mentén egyforma (és természetesen nem nulla) [Renderelés ... ds]-eket elgondolva az szinte mindegy, hogy az integráljel melyik felén van...) Egyszerűen belátjuk, hogy az integrál csak akkor tűnik el tetszőleges pálya esetén, ha annak minden részén maga a [Renderelés ... \delta ds^2] variáció nulla. Tehát a követelést egyszerűen ez is adja. Így ezt a variációt átalakítva, azaz más mennyiség variációjával felírva (melyek célszerűen a koordináták lesznek), annak koefficiense nulla kell, hogy legyen, és végül ez adja a keresett összefüggést.)

(utólagos NOTE 2.verzió: Nem igazán jó, hogy [Renderelés ... \frac{1}{ds}] akár egy lépésre is bekerült a képletbe, pontosabban, hogy osztunk vele, hiszen (amit az előbb rosszul gondoltam) az is lehet, hogy az nulla, ami éppen a fényszerű pályák esetében van. Más meggondolást követünk, térjünk vissza a kiinduláshoz, és vizsgáljuk meg részletesebben, hogy mit is csinálunk tulajdonképpen a variáció felírásával:

[Renderelés ... \delta\int_a^b{ds} = \int_a^b{\delta ds} = 0].

Szavakban: Az integrál variációja, nem más, mint a variációk integrálja. Az előbbinél a és b rögzített végpontok között különböző vonalakon képezzük előbb az integrált, majd utána az infinitezimálisan közeliek különbségét vesszük:

[Renderelés ... \delta\int_a^b{ds} = \int_a^b{(ds+\delta ds)} - \int_a^b{ds} = \int_a^b{\delta ds}]

Az egyenlőségjel után pedig fordítva. Az integrál egy végtelen összegezés, és mivel összeget tagonként variálunk, így ezt is. Tehát minden a és b rögzített végpontok közötti különböző vonalakon kiintegráljuk az infinitezimális szakaszainak összeillő variációit, azaz [Renderelés ... ds+\delta ds]-ek helyett, csak [Renderelés ... \delta ds]-eket. Vegyük észre, hogy a variációképzéssel (mindkét felfogásból érezhetően) kivonódott az integrálelem. Az első felfogásnál annak teljes integrálja egyben, a második felfogásban pedig külön az egyes tagokból, hiszen annak csak a variációi szerepelnek helyette. Persze az integrálás így is végigmegy az [Renderelés ... s] vonalon, csak az eltűnt [Renderelés ... ds] helyett, most, valami más hasonló vette át az integrálelem szerepét, ami [Renderelés ... \delta ds]-en belül van. Ha beszorozzuk az egyenletet az elvesztett [Renderelés ... ds] vonalelem hosszal, és az(oka)t egyforma hosszú(ak)nak, azaz konstansnak vesszük, akkor bevihető az integráljel alá, és ott újra tekinthető integrálelemnek. Ezzel így egy másik egyenlet lett, de könnyen belátható, hogy az így nyert kifejezés is ugyan azokat a stacionárius vonalakat fogja adni. [Renderelés ... ds \neq 0] esetén, ha a korábbi egyenlet nem volt nulla, ez sem lesz az. Ha nulla volt, akkor ez is az lesz, tehát a stacionárius vonalakra ezzel az átalakított egyenlettel is megtaláljuk a keresett összefüggést. Legfeljebb [Renderelés ... ds = 0] esetében kellenének újabb meggondolások, de szorozni akkor is lehet vele, osztani viszont nem.
Tehát az "új" egyenlet most így néz ki:

[Renderelés ... ds\int_a^b{\delta ds} = \int_a^b{ds\delta ds} = 0].

És mivel [Renderelés ... ds\delta ds = \frac{1}{2}\delta ds^2], ezt behelyettesítve az integrálelem csupán bekerül a [Renderelés ... \delta ds^2] kifejezésbe, amit majd elkezdünk szépen alakítgatni a továbbiak szerint. Ezzel elkerültük a [Renderelés ... \delta\sqrt{g_{ik} dx^i dx^k}] gyökös alakot, és a [Renderelés ... ds = 0] sem okoz fennakadást.)


[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\frac{1}{2}\delta(g_{ik} dx^i dx^k)}].

Most teljes variációra lesz szükség (ahogy előbb írtam):

[Renderelés ... \delta(g_{ik} dx^i dx^k) = dx^i dx^k \delta g_{ik} + g_{ik}\delta(dx^i dx^k) = dx^i dx^k \delta g_{ik} + g_{ik}dx^i \delta dx^k + g_{ik}dx^k \delta dx^i]

[Renderelés ... = dx^i dx^k \delta g_{ik} + 2g_{ik}dx^i \delta dx^k = dx^i dx^k \delta g_{ik} + 2g_{ik}dx^i d\delta x^k].

Utolsó lépésként felhasználtuk, hogy [Renderelés ... \delta dx^k = d\delta x^k], vagyis, hogy a koordináták differenciáljának infinitezimális variációja azonos a koordináták infinitezimális variációjának differenciáljával. Ez közvetlen adódik abból, hogy [Renderelés ... \delta x^k] éppen olyan vektormennyiség, mint [Renderelés ... dx^k], és fordítva. Ez másodrendben az utoljára felhasznált összefüggést adja. (Ez alsóindexes vektorokra is természetesen igaz.) Ez nagyon lényeges pontja az egész számításnak, hiszen ebből kifolyólag válnak a legkisebb hatás követelése alatt a szabad mozgás lehetséges pályái meghatározhatóvá valamilyen egyenlet formájában.

A kapott variációt behelyettesítve az integrálba:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \delta g_{ik} + g_{ik}dx^i d\delta x^k \right)}].

Ne ijedjünk meg, hogy hirtelen már nem látjuk a kezdetben még meglévő [Renderelés ... ds] integrálási elemet, hiszen éppen azt variáltuk, és alakítottuk át. A variációkat egy mennyiség variációjára kell visszavezetni, hogy azt kiemelhessük a két tagból, ugyanis pont ez a technikai lényeg, hogy így jutunk eredményként majd egy egyenlethez.

Az első tagnál egyszerűen járunk el, [Renderelés ... \delta g_{ik}]-t parciális deriválással írjuk fel: [Renderelés ... \delta g_{ik} = \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\delta x^l].

A második tagot a [Renderelés ... valami2\,d\,valami1 = d(valami1\,valami2) - valami1\,d\,valami2] alapján tudjuk hasznosan átalakítani. A [Renderelés ... d(valami1\,valami2) = d(g_{ik}dx^i \delta x^k)] teljes differenciál az integrálásból eltűnik, hiszen a határokon a variáció nulla, így marad: [Renderelés ... -valami1\,d\,valami2 = -d(g_{ik}dx^i)\delta x^k]. (Parciális integrálás.)

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\delta x^l - d(g_{ik}dx^i) \delta x^k \right)} = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\delta x^l - dx^i dg_{ik} \delta x^k - g_{ik}ddx^i \delta x^k \right)}].

Harmadik és negyedik tagban k -> l összegezőindex jelöléscserét végrehajtva, és [Renderelés ... \delta x^l]-t kiemelve mindhárom tagból:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} - dx^i dg_{il} - g_{il}ddx^i \right) \delta x^l}].

A középső tagban [Renderelés ... dg_{il}]-t [Renderelés ... \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k}dx^k] alakra átírva azt egészen hasonlóvá tesszük az elsőhöz:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} - dx^i dx^k \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} - g_{il}ddx^i \right) \delta x^l}].

Majd felhasználva, hogy i és k indexeiben szimmetrikus, két tagra bontjuk:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} - \frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} - \frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i} - g_{il}ddx^i \right) \delta x^l}]. Kiemeljük [Renderelés ... \frac{1}{2} dx^i dx^k]-t:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left[\frac{1}{2} \left(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} - \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}\right) dx^i dx^k - g_{il}ddx^i \right] \delta x^l}]. Amely integrál tetszőleges [Renderelés ... \delta x^l] variációkra csak akkor tűnik el,

ha a szögletes zárójelben lévő rész nullával egyenlő:

[Renderelés ... g_{il}ddx^i + \frac{1}{2} \left(\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\right) dx^i dx^k = 0]. A második tagban [Renderelés ... dx^i dx^k] előtt álló kifejezésre

bevezetve a Christoffel-féle szimbólumokat:

[Renderelés ... g_{il}ddx^i + \Gamma_{lik} dx^i dx^k = 0]. És indexfelhúzással:

[Renderelés ... g^{ml}g_{il}ddx^i + g^{ml}\Gamma_{lik} dx^i dx^k = 0],

[Renderelés ... \delta^m_i ddx^i + {\Gamma^m}_{ik} dx^i dx^k = 0]. A konstans [Renderelés ... \delta^m_i] már akár be is vihető a sima differenciáljel alá:

[Renderelés ... d\delta^m_i dx^i + {\Gamma^m}_{ik} dx^i dx^k = 0],

[Renderelés ... ddx^m + {\Gamma^m}_{ik} dx^i dx^k = 0]. Ezzel készen is vagyunk. :mrgreen: Ez nem más, mint a kovariáns differenciál,

miszerint [Renderelés ... Ddx^m = 0].

Ez az egyenlet infinitezimálisan megadja a téridő minden egyes pontjában a [Renderelés ... dx^m] irányhoz tartozó egyetlen geodetikus további menetét. [Renderelés ... dx^m]-nek önmagában nincs hossza, és még infinitezimális is. Csak négyesirányt határoz meg, valamint a [Renderelés ... \frac{dx^m}{ds} = u^m] négyessebességet, mely csak nyugalmi tömeggel rendelkező anyag esetén értelmezhető. Ezekre csak az időszerű geodetikus vonalak a lehetséges pályák.

[Renderelés ... ddx^m = -{\Gamma^m}_{ik} dx^i dx^k = \delta dx^m]. Ahol most [Renderelés ... \delta dx^m] a konnexiót jelenti.

_________________________________________________

Sajnálom, ha bántok valakit a hozzászólásaimmal. Én a lehető legnagyobb igyekezetemmel a megértés pártján vagyok, és nem célom a vagdalkozás. Viszont a kérdéses dolgokat érdemes és hasznos megvitatni. Ha hibázok, belátom. De ha úgy vélem, hogy mégsem, akkor hát megpróbálom jobban elmondani miért nem, és számításokkal, könyvekkel (Landau, Novobátzky, stb..) is alátámasztani elképzeléseimet, amik így nem csak az enyémek.
A hozzászólást 4 alkalommal szerkesztették, utoljára szabiku 2016.09.13. 00:24-kor.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.08.31. 13:15

Nagyon sajnálom, de ez a levezetés is hibás.

Ez a lépés rontja el:
Nyugodtan egyszerűsíthetünk [Renderelés ... ds]-el, mert semmi szükség rá,


A [Renderelés ... ds] mennyiség az integrál alatt van, nem állandó, hiszen épp azt nézzük, hogyan változik a metrika variációjaként, ezért nem lehet kiemelni az integrál alól, bent kell hagyni. Egy ideig csak cipelni kell, aztán később feltámad és fontos szerepet kap.

Ez az újabb kritikus lépés a parciális integrálás. Itt ugyanis látni, hogy nem a [Renderelés ... dx^k] mennyiség, hanem a [Renderelés ... dx^k/ds], illetve a vele arányos [Renderelés ... dx^k/d\tau] négyessebesség újabb deriváltja jelenik meg. Ennek megfelelően a végeredményben sem a [Renderelés ... ddx^k] mennyiség szerepel, hanem a négyessebesség ívhossz (avagy sajátidő) szerinti deriváltja, azaz a négyesgyorsulás. Ami nagyon nem mindegy, lásd pl Hraskó könyvében a meggondolást arról, mi van, ha az űrhajósnak elromlik az órája, avagy másképp mondva: ha a geodetikust nem a sajátidővel paraméterezzük. Ebben az esetben a két képlet mást jelent, és a te végeredményed egyszerűen hibás. Amit kihoztál, az nem a geodetikus egyenlete.

Megint csak arról van szó, hogy nem hagyhatunk el önkényesen bizonyos dolgokat a számítások során, mert szerintünk
semmi szükség rá

- hiszen a matematika nem kívánsághangverseny. Valamit elhagyni csak akkor szabad, ha szigorú pontossággal beláttuk, hogy nulla, vagy állandó, és azt, hogy a számítások későbbi menetét sem befolyásolja. Itt az utóbbi feltétel nem áll fenn.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.08.31. 13:54

Igen, onnantól próbaképp [Renderelés ... ds]-t nem használom benne, átnézem még egyszer...

(Utólagos NOTE: Szerintem jó a levezetés, nem értek egyet a felhozott ellenérvel.)
A hozzászólást 2 alkalommal szerkesztették, utoljára szabiku 2016.09.13. 00:30-kor.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.08.31. 22:12

Igen, próbaképp ds-t nem használom benne

Már többször leírtam: a matematika nem kívánsághangveseny, nem "szeretnénk", "próba" és hasonló dolgokon múlik - szigorú szabályai vannak. Ha valamit nem úgy csinálsz, ahogy kell, az nem "próba", hanem hiba, egyszerűen rossz számolás. És az "eredménye" nem releváns, nem veendő komolyan.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: KovPityu » 2016.09.01. 05:55

Ugyan, Dirac is elintézte a gyökvonást, nem vacakolt :D Még hogy nem lehet gyököt vonni, majd én megmutatom! :lol:
KovPityu
 
Hozzászólások: 197
Csatlakozott: 2014.09.20. 06:52
Has thanked: 68 times
Been thanked: 17 times

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.09.02. 00:45

Nem értem, miért ne lehetne egy világvonalat, vagy akár geodetikust tetszőlegesen paraméterezni.

Maradjunk a geodetikusnál.

Novobátzky könyvében a 149. oldalon tetszőlegesen paraméterezhető.
Ellenben Hraskó Péter Általános relativitáselmélet és kozmológia jegyzetében a 28. oldal alján az áll, hogy nem.

Na mármost a kettő élesen ellentmond egymásnak, de csak az egyik igaz.

Gyula, te Hraskó Péterrel értesz egyet.
Én pedig Novobátzkyval.

Kérdés: Kinek van igaza?? :?:

Hraskó Péternél a [Renderelés ... \lambda] paraméterre kezdetben sem volt semmi kikötés. (11.1)-ben szerintem tetszőleges. Már ezzel ellentmondó, hogy a végén mégis azt hozza ki, hogy nem lehet átparametrálni a geodetikus egyenletet. Idézek:

"Ha [Renderelés ... \frac{d^2x^i}{d\lambda^2} + {\Gamma^i}_{jk}\frac{dx^j}{d\lambda}\frac{dx^k}{d\lambda} = 0] egyenletet [Renderelés ... \left(\frac{d\lambda}{d\mu}\right)^2]-tel megszorozzuk, a második derivált miatt nem lehet az összes [Renderelés ... d\lambda]-val "egyszerűsíteni":

[Renderelés ... \frac{d^2x^i}{d\lambda^2} = \frac{d\mu}{d\lambda}\frac{d}{d\mu}\left(\frac{d\mu}{d\lambda}\frac{dx^i}{d\mu}\right) = \left(\frac{d\mu}{d\lambda}\right)^2\frac{d^2x^i}{d\mu^2} + \frac{d^2\mu}{d\lambda^2}\frac{dx^i}{d\mu}].
"

Az első tag [Renderelés ... \left(\frac{d\mu}{d\lambda}\right)^2\frac{d^2x^i}{d\mu^2} = \frac{d\mu^2}{d\lambda^2}\frac{d^2x^i}{d\mu^2} = \frac{d^2x^i}{d\lambda^2}], ami a kiindulás volt.

(Utólagos NOTE: Na ez az, amit nem szabad csinálni! :D
A másodrendű [Renderelés ... d\mu^2] differenciállal így nem lehet egyszerűsíteni.
A differenciálás láncszabálya erre már nem vonatkozik. Ezért a következő kijelentés hibás.)


Ebből is látszik, hogy a második tagnak azonosan nullának kell lennie. És az is:

[Renderelés ... \frac{d^2\mu}{d\lambda^2}\frac{dx^i}{d\mu} = \left(\frac{d}{d\lambda}\frac{d\mu}{d\lambda}\right)\frac{dx^i}{d\mu} = \frac{d}{d\lambda}\left(\frac{d\mu}{d\lambda}\frac{dx^i}{d\mu}\right) - \frac{d\mu}{d\lambda}\frac{d}{d\lambda}\frac{dx^i}{d\mu} = \frac{d}{d\lambda}\frac{dx^i}{d\lambda} - \frac{d\mu}{d\lambda}\frac{d}{d\mu}\frac{dx^i}{d\lambda} = \frac{d}{d\lambda}\frac{dx^i}{d\lambda} - \frac{d}{d\lambda}\frac{dx^i}{d\lambda} = 0].

(Utólagos NOTE: A [Renderelés ... \frac{d}{d\lambda}\frac{d}{d\mu} \neq \frac{d}{d\mu}\frac{d}{d\lambda}] miatt hibás ez a számolásom. :D
Viszont, ha a baloldal első tényezője [Renderelés ... \frac{d^2\mu}{d\lambda^2} = 0] (a [Renderelés ... \frac{dx^i}{d\mu}] nyilván nem nulla), akkor ez a tag nulla, és [Renderelés ... \frac{d^2x^i}{d\lambda^2} = \left(\frac{d\mu}{d\lambda}\right)^2\frac{d^2x^i}{d\mu^2} + 0 = \frac{d\mu^2}{d\lambda^2}\frac{d^2x^i}{d\mu^2}]. ez azt jelenti, hogy [Renderelés ... \mu(\lambda)] lineáris függvény, azaz lineáris átparaméterezést jelent.)


Ha a paraméteres geodetikus egyenletet egyszerűen beszorzom [Renderelés ... d\lambda^2]-tel, azonnal megkapom a differenciál alakját:

[Renderelés ... d^2x^i + {\Gamma^i}_{jk} dx^j dx^k = 0]

Bár így hiányzik a parametrálás, de szerintem így is jó.

(Utólagos NOTE: Ez a beszorzás a fenti megjegyzésem értelmében nem annyira kielégítő, ugyanis a [Renderelés ... \frac{d^2x^i}{d\lambda^2} = \frac{d}{d\lambda}\left(\frac{dx^i}{d\lambda}\right)] tag egyszeri [Renderelés ... d\lambda]-val történő beszorzás után [Renderelés ... d\left(\frac{dx^i}{d\lambda}\right)] lesz, és az ebben megmaradt [Renderelés ... d\lambda] már a [Renderelés ... d] mögött van.
Viszont, mivel a másik [Renderelés ... {\Gamma^i}_{jk}\frac{dx^j}{d\lambda}\frac{dx^k}{d\lambda}] tag szimmetrikus a jk indexeiben, ezért nem egyértelmű, hogy [Renderelés ... x^j x^k] közül melyikhez melyik [Renderelés ... d\lambda] tartozik. Amelyikkel először, vagy amelyikkel másodszor van differenciálva az első tagban [Renderelés ... x^i]. Az indexszimmetriák miatt ez a kettő [Renderelés ... \frac{d}{d\lambda}] egyenjogúvá válik, és szintén felcserélhető, tehát az általában kissé csalóka [Renderelés ... \frac{d^2}{d\lambda^2}] jelölés, most nem csalóka, és mind a két [Renderelés ... d\lambda], azaz a [Renderelés ... d\lambda^2] így eltüntethető.
Az ívhossz paraméteres geodetikus egyenlet ilyen (paraméter nélküli) differenciál alakra hozva lényegében ugyan azt jelenti. A téridő minden pontjában minden (négyes)irányhoz megadja az egyetlen átmenő geodetikus vonal további irányát.)


(Utólagos NOTE: Az előbbi "Viszont, mivel... felcserélhetőek az indexek..." magyarázatom sajnos nem jó. Az a baj vele, hogy az alapján akkor akár tetszőleges paraméter szerint is tudnánk ezt az alakot kreálni, de tetszőleges átparaméterezéskor megjelenik egy plusz tag. Szóval nem az indexszimmetriák az oka annak, hogy kiemelhető a [Renderelés ... d] alól a belső [Renderelés ... \frac{1}{d\lambda}], hogy aztán egyszerűsítsünk vele. A megfelelő ok az lesz, hogy [Renderelés ... d\lambda] paraméter egy konstans jellegű (és) invariáns skalár, ezért [Renderelés ... \frac{1}{d\lambda}] bevihető, vagy kihozható a [Renderelés ... d] differenciálképző operátor alól, és ugyanígy a vele lineáris kapcsolatban lévő, azaz csak egy konstans szorzóban és offszetben (eltolásban) eltérő bármely új paraméter(ezés) is.

Ha az ívelemhossz nullává válik, akkor nem paraméterezhetünk vele, sem "azzal lineáris kapcsolatban" lévővel, hiszen nulla esetén nincs olyan. Éppen ezért csökött a [Renderelés ... \frac{d^2x^i}{ds^2} + {\Gamma^i}_{jk}\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds} = 0] egyenlet. Viszont a fénykúp palástján haladó fényszerű geodetikus is eseményeket köt össze a négyestérben, ezért ekkor a hullámtávolság paraméterezés alkalmazható. Ez ugyan olyan tulajdonságú, mint az ívhossz, tehát konstans jellegű (és) invariáns skalár, ami szabadon be- és kivihető a [Renderelés ... d] operátoron át.

A fentebbi, és lentebb következő kritikák ellenére én még mindig tartom a levezetett [Renderelés ... d^2x^i + {\Gamma^i}_{jk} dx^j dx^k = 0] alakú egyenlet értelmességét, és helyességét.
A paraméterezés bevezetése, és a [Renderelés ... dx^i] végesre normálása (amit egyébként itt ugyan az ad, vagyis az, hogy egy konstans jellegű [Renderelés ... d\lambda]-val el van osztva [Renderelés ... dx^i]) nem lehet szükséges követelménye a geodetikus vonalakra általánosan felállított összefüggés felírásának, hiszen ez csak annyit jelent, hogy a téridőben olyan egymás után következő [Renderelés ... dx^i] irányú elmozdulások (amelyek lehetnek idő-, tér, vagy fényszerűek) sorozata, melyre mindenhol fennál, hogy kovariáns deriváltja nulla, azaz [Renderelés ... Ddx^i = 0]. Ez pedig az előbbi egyenlet, amely a kovariáns differenciálképzésből közvetlen adódik, és az általam pár hozzászólással feljebb differenciál formában [Renderelés ... ds^2] variálásával levezetett módon is adódik.)
A hozzászólást 4 alkalommal szerkesztették, utoljára szabiku 2016.09.09. 05:13-kor.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.09.02. 00:59

Kedves szabiku, piros kockára lépett, lépjen vissza 42 mezővel. Három körben kimarad a dobásból.

Addig tanuljon meg differenciálni, főleg a második derivált és a differenciálok fogalmát és használatát nézze át, különös tekintettel a [Renderelés ... d^2x/dt^2] szimbólum jelentésére.

Kérem a többieket, amíg szabiku rá nem jön, milyen elemi matematikai hibát követett el, és ki nem javítja, senki se reagáljon semmiféle matematikai jellegű kijelentésére.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.09.02. 01:20

Hát most tényleg van egy kis dilemmám, de akkor utánanézek... :D
Aztán mindent kijavítok. :oops:
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.09.02. 01:29

Aztán mindent kijavítok.

Csak ne úgy, hogy letörlöd az eredetit. Akkor nem lehet tanulni a hibákból.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.09.02. 08:51

O.K. Ígérem úgy módosítom majd, hogy rendesen benne lesz a hibámra való figyelemfelhívás, hogy tanulni lehessen belőle, de a számolásokat azért mellette rendbe kell tenni.
Ennek a paraméteres másodrendű differenciálásnak meg utána kell néznem, mert eléggé megtévesztett az egyszerű felírási formája, bár tényleg dilemmáztam rajta, csak nem volt hozzá rendes részletes tananyagom. Van egy diffgeós könyvem előkeresem, abba rémlik, hogy vannak részletek ezzel kapcsolatban. Már vagy két éve néztem utoljára.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

ElőzőKövetkező

Vissza: Zárt osztály

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 2 vendég

cron