Szabiku vizsgálódásai

[szabiku]

viewtopic.php?f=9&t=254&start=76

(A böngészőben nézetváltással is meg lehet szüntetni az alábbi kép kisablakúságát.)

Relativisztikus hidrodinamika

Relativisztikus hidrodinamika.png (215.97 KiB) Megtekintve 19716 alkalommal.

[szabiku]

(14)-et vajon hogyan sütötte ki Marx György??
Nem sikerül rekonstruálnom (12) alapján.
(16) felállítására nekem más ötletem van...
De ha valaki esetleg tudja a mikéntjét, megoszthatná.

[dgy]

(14)-et vajon hogyan sütötte ki Marx György?

Nagyon egyszerű. A (12) képletet le kell deriválni g_kl szerint. A nevezőt vissza kell írni dtau alakra. Utána bővítünk dtau-val. Ekkor jelenik meg a képletben a két u faktor. Végül alkalmazni kell a
T_kl delta g^kl = - T^kl delta g_kl
képletet.

Ez a cikk teljesen jó, csak két baja van:

1/ Sajnos ict-s formalizmust használ, mint mindenki az ötvenes években.

2/ Hiányzik egy nulladik, termodinamikai fejezet. Enélkül nem lehet pontosan tudni, milyen mennyiség igazából a folyadék "nyugalmi tömeg sűrűsége". (A termodinamika nem használja a tömeg fogalmát.) Később kiderült, hogy a fajlagos entalpia játssza a nyugalmi tömeg szerepét.

Ezeket a kérdéseket csak egy 1980-as cikk tisztázta. (A neten ez nem érhető el.)

Ha tisztességes billentyűzethez jutok, beírom az egész, modern és elegáns levezetést.

dgy

[szabiku]

Köszönöm az instrukciókat, megnézem nekem ki jön e úgy, bár még nem számoltam semmit, de első olvasásra a

Végül alkalmazni kell a T_kl delta g^kl = - T^kl delta g_kl

rész nekem fura, mert itt még nincs T_ik

Valamint szerintem nincs [Renderelés ... ict]ict-s formalizmus, ugyanis az áltrelnél az nem célravezető. (3)-ban nem kell oda az az [Renderelés ... i]i (elírás csak). A cikk olyan szignatúrát használ, mint Novobátzky a könyvében, vagyis (+,+,+,-)-osat. Ezért nincs pl. a gyök alatti [Renderelés ... g]g előtt mínusz előjel.

Vizsgálataim során én arra jutottam, hogy a cikk szerintem teljes egészében bajos. Ugyanis már maga az ideális folyadék összeférhetetlen a relativitáselmélettel. Ezt figyelembe véve a fajlagos entalpia automatikusan adódik. A termodinamika ahhoz még nem kell, az csak ezután jön, és ahhoz csak segítségül szolgál, hogy a relativitáselmélet alapvetően nem tesz különbséget a folyadék és a gáz között, hiszen nincs ideális összenyomhatatlan anyag (tehát még a szilárd anyag is ezekkel egy kalap alatt van).
Ezeket később majd részletezem is.

Persze ez mellett kíváncsi vagyok arra az 1980-as cikkre.

[dgy]

Valamint szerintem nincs [Renderelés ... ict]ict-s formalizmus, ugyanis az áltrelnél az nem célravezető. ... A cikk olyan szignatúrát használ, mint Novobátzky a könyvében, vagyis (+,+,+,-)-osat.

A cikk a specrel hidrodinamikájáról szól, csak a bevezető fejezet, az energiaimpulzus-tenzor levezetése kalandozik ki az áltrelbe. A későbbi fejezetekben csakis alsó indexek szerepelnek, ez az ict formalizmus ismertető jele - mint a Novo könyv első felében.

Vizsgálataim során én arra jutottam, hogy a cikk szerintem teljes egészében bajos.

Nocsak! Részletezhetnéd azokat a vizsgálatokat.

Ugyanis már maga az ideális folyadék összeférhetetlen a relativitáselmélettel.

Ezt meg kellene indokolni! Mi az az ideális folyadék? Pontosan miért is mond ez ellen a specrelnek?

Ezt figyelembe véve a fajlagos entalpia automatikusan adódik.

Erre az automatizmusra nagyon kíváncsi vagyok, részletezd!

A termodinamika ahhoz még nem kell, az csak ezután jön, és ahhoz csak segítségül szolgál, hogy a relativitáselmélet alapvetően nem tesz különbséget a folyadék és a gáz között, hiszen nincs ideális összenyomhatatlan anyag (tehát még a szilárd anyag is ezekkel egy kalap alatt van).

Alapvető félreértés: az ideális folyadék nem azt jelenti, hogy összenyomhatatlan! A két fogalomnak semmi köze egymáshoz.

A látóknak:

Ismét a szokásos tünetegyüttes: a szerző saját "vizsgálódásai" alapján lepocskondiázza ismert tudósok műveit (amik eredményeire támaszkodik pl a modern nehézionfizika hidrodinamikai modellje is), miközben már a levezetés első lépését is képtelen követni (az általam megadott részletes instrukciók alaján sem), és közben kiderült, hogy a felhasznált fizikai alapfogalmak jelentésével sincs tisztában.

Ennek fényében kell komolyan venni a kifogásait.

dgy

[szabiku]

Igen, mivel értelmes lény vagyok, ezért vannak saját vizsgálódásaim, melyekhez ismert tudósok műveit (tankönyveit) kellő megértéssel használom. (Pl. a Novobátzky könyv, Landau Könyv, stb...)

A cikk a specrel hidrodinamikájáról szól, csak a bevezető fejezet, az energiaimpulzus-tenzor levezetése kalandozik ki az áltrelbe. A későbbi fejezetekben csakis alsó indexek szerepelnek, ez az ict formalizmus ismertető jele - mint a Novo könyv első felében.

Igen, a teljes cikk valóban ilyen, csak az áltreles kitérőknél nem tudja használni az [Renderelés ... ict]ict-s formalizmust (ilyen még a nem idézett 5. paragrafus első fele). Szóval úgy akartam érteni, hogy a teljes cikkből fent idézett rész áltreles része (a (17) képlet előttig) nem [Renderelés ... ict]ict-s, ezért a (3)-ban szereplő [Renderelés ... i]i csak elírás.

Nocsak! Részletezhetnéd azokat a vizsgálatokat.
...
Erre az automatizmusra nagyon kíváncsi vagyok, részletezd!

Igen, ezzel szeretném nemsokára folytatni ezt a témát, csak meg kell még szerkesztenem és fogalmaznom.

Ezt meg kellene indokolni! Mi az az ideális folyadék? Pontosan miért is mond ez ellen a specrelnek?
...
Alapvető félreértés: az ideális folyadék nem azt jelenti, hogy összenyomhatatlan! A két fogalomnak semmi köze egymáshoz.

Az ideális folyadék összenyomhatatlan (és nem képes csavaróerők továbbítására). Ez benne van a tankönyvekben.
Novobátzky a könyve 107. oldalán erre jutott az inkompresszibilis folyadékkal kapcsolatban:

"Az abszolút összenyomhatatlan folyadék fogalma, éppúgy, mint a merev testé, absztrakció eredménye. A valóságban minden folyadék összenyomható, és minden szilárd test rugalmas. A relativitás elméletének azonban elvi okokból is tiltakoznia kell az említett fogalomalkotások ellen. Ha a merev léc egyik végét meglökjük, vagy a csövet elzáró dugattyút hirtelen beljebb toljuk, a léc, ill. a cső másik végén ugyanabban a pillanatban elmozdulás keletkeznék. Az ilyen időtlen hatásátviteleket, melyeket jeladásra lehetne felhasználni, a relativitás elmélete a tapasztalattal egyetértésben kizárja"

Ezzel szemben Marx cikke 2. paragrafusában (a fenti kép-file-ban idézett cikkrész) az (inkompresszibilis) ideális folyadék címszó alatt gondolja megalapozni az egész relativisztikus dinamikát, ahogy a bevezetője előtt írta:
"Megadjuk a relativisztikus dinamikának variációs elvből kiinduló megalapozását."

Ez csak rossz lehet..

Másik alapvető tulajdonsága az ideális folyadéknak, hogy viszkozitás nélküli (azaz nincs áramlási veszteség, vagyis nem disszipatív).

[dgy]

Az ideális folyadék definíciója az, hogy nem csak álló helyzetben, de mozgás közben sem ébrednek benne nyíróerők. Pont. Ennyi. A definíció nem beszél az összenyomhatatlanságról, mert az az idealitástól függetlenül fennálló vagy fenn nem álló tulajdonság.

Marx cikke (és elötte Hermann Weyl vagy pl Fridmann és Landau is) ezt a fogalmat viszi át a relativitáselméletbe.

A leggyakrabban vizsgált folyadék, a víz köznapi körülmények kózött gyakorlatilag összenyomhatatlan. Ezért a hidraulika könyvek már az első oldalon kikötik az összenyomhatatlanságot, ezzel később jelentős matematikai egyszerűsítést érve el.

Ez a specrelben természetesen nem tehető meg. A cikk első, áltreles része éppen arról szól - ezt te természetesen nem vetted észre -, hogyan is kell kezelni a specrelben a helytől és időtől függő sűrűség fogalmát.

Ez csak rossz lehet (plusz önelégült vigyor).

Könnyű kibúvó! Így nem is kell elmélyedned a részletekben...

Miért kell mindenkit hülyének nézni? Komolyan azt hiszed, hogy az a néhány ezer tudós, aki az elmúlt 111 évben a relativisztikus hidrodinamikával foglalkozott, mind csak rád vár, hogy vigyorogva közöld velük: témájuk nem is létezik? Fel sem merül, hogy esetleg te tudsz valamit rosszul?

dgy

[szabiku]

(14)-et vajon hogyan sütötte ki Marx György??
Nem sikerül rekonstruálnom (12) alapján.
(16) felállítására nekem más ötletem van...
De ha valaki esetleg tudja a mikéntjét, megoszthatná.

Nagyon egyszerű. A (12) képletet le kell deriválni g_kl szerint. A nevezőt vissza kell írni dtau alakra. Utána bővítünk dtau-val. Ekkor jelenik meg a képletben a két u faktor. Végül alkalmazni kell a T_kl delta g^kl = - T^kl delta g_kl képletet.
...
Ismét a szokásos tünetegyüttes: a szerző saját "vizsgálódásai" alapján lepocskondiázza ismert tudósok műveit, ... miközben már a levezetés első lépését is képtelen követni (az általam megadott részletes instrukciók alaján sem) ...

Hmmm...
Úgy vélem, kicsit hibás az instrukciód.

Szerintem:
1. (12) hibás, mert [Renderelés ... g_{ik}dx^i dx^k]g_{ik}dx^i dx^k elé nem kell a negatív előjel.
2. Nem (12), hanem (12) reciprokának deriválása útján lehet eljutni (14)-hez.
3. Nem [Renderelés ... g_{ik}]g_{ik}, hanem [Renderelés ... g^{ik}]g^{ik} szerint érdemes inkább deriválni.
4. Nem kell bővíteni [Renderelés ... d\tau]d\tau-val.
5. 3. esetén nem kell alkalmazni [Renderelés ... A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik}]A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik} összefüggést. (Azt hiszem a T_kl jelöléssel nem energiaimpulzus-tenzorra gondoltál (mert ugye annak felállítása a cél), hanem csak simán tenzorra.)

Képletekben:

(12) javítva: [Renderelés ... \frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{c}\frac{\sqrt{g_{ik}dx^i dx^k}}{dt}]\frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{c}\frac{\sqrt{g_{ik}dx^i dx^k}}{dt}. Majd ez alapján reciprokának variációja (14):

[Renderelés ... \delta\frac{dt}{d\tau} = \frac{\partial(dt/d\tau)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik} = \frac{\partial\left(c\,dt\,/\sqrt{g^{ik}dx_i dx_k}\right)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik} = -\frac{c\,dt}{2}(g^{ik}dx_i dx_k)^{-\frac{3}{2}} dx_i dx_k \delta g^{ik} = -\frac{1}{2c^2}\frac{dt}{d\tau}u_i u_k \delta g^{ik}]\delta\frac{dt}{d\tau} = \frac{\partial(dt/d\tau)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik} = \frac{\partial\left(c\,dt\,/\sqrt{g^{ik}dx_i dx_k}\right)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik} = -\frac{c\,dt}{2}(g^{ik}dx_i dx_k)^{-\frac{3}{2}} dx_i dx_k \delta g^{ik} = -\frac{1}{2c^2}\frac{dt}{d\tau}u_i u_k \delta g^{ik}

(Megjegyzés: Ha [Renderelés ... g_{ik}]g_{ik} szerint deriválunk, akkor [Renderelés ... -\delta\frac{dt}{d\tau}]-\delta\frac{dt}{d\tau}-hoz jutunk, és végül valóban alkalmazni kell [Renderelés ... A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik}]A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik} összefüggést.)

[dgy]

Hmmm...
Úgy vélem, kicsit hibás az instrukciód.

Tévedés.

Szerintem:
1. (12) hibás, mert [Renderelés ... g_{ik}dx^idx^k]g_{ik}dx^idx^k elé nem kell a negatív előjel.

Mivel a cikk áltreles részében a (-,+,+,+) előjel-konvenciót alkalmazzák, kell a negatív előjel.

2. Nem (12), hanem (12) reciprokának deriválása útján lehet eljutni (14)-hez.

Egy függvény és a reciproka differenciálja arányos egymással, ezért tökmindegy, hogy melyikből indulunk ki.

3. Nem [Renderelés ... g_{ik}]g_{ik}, hanem [Renderelés ... g^{ik}]g^{ik} szerint érdemes inkább deriválni.

Na ez a lényeges kérdés.

Hilbert energiaimpulzus-tenzor definíciója a felső indexes [Renderelés ... g^{ik}]g^{ik} együtthatójaként definiálja a [Renderelés ... T_{ik}]T_{ik} alsó indexes energiatenzort, ezért a végeredményt ilyen alakra kell hozni. De a számolás közben nem mindegy - és főleg nem önkényes -, hogy mit tekintünk független változónak.

A differenciálható sokaságok koordinátái nem vektorkomponensek, de - megegyezés szerint - felső indexszel jelöljük őket: [Renderelés ... x^k]x^k. A [Renderelés ... dx^k]dx^k koordináta-differenciál viszont már vektor, az adott pontbeli érintőtér (tangenstér) eleme - ezért felső indexes vektorkomponensnek számít. (Ugyanis általános koordináta-transzformáció esetén a [Renderelés ... dx^k]dx^k-k úgy transzformálódnak, mint egy deriváció - hagyományos nevén görbementi derivált - komponensei.)

Mindez teljesen független a metrikától - sőt az általános differenciálgeometriában általában nem is létezik metrikus tenzor. (Korábban már volt szó arról, hogy a konnexió fogalma is független a metrikától, ezért önkényesen adható meg - csak a Riemann-geometria specialitása az, hogy kapcsolatot követelünk meg a konnexió és a metrika között.)

Az alsó indexes [Renderelés ... dx_k]dx_k mennyiségek viszont NEM differenciáljai semmiféle "[Renderelés ... x_k]x_k" alsó indexes koordinátának - ilyesmi ugyanis nem létezik. A [Renderelés ... dx_k]dx_k mennyiségek az adott pontbeli ko-érintőtér (kotangenstér), azaz az érintőtér duális terének elemei, és őket a [Renderelés ... dx_k=g_{kl}dx^l]dx_k=g_{kl}dx^l formula definiálja, a [Renderelés ... g_{kl}]g_{kl} metrikus tenzor segítségével.

És bár igaz, hogy az ívelem-négyzet kétféleképp is felírható: [Renderelés ... ds^2=g_{kl}dx^kdx^l=g^{kl}dx_kdx_l]ds^2=g_{kl}dx^kdx^l=g^{kl}dx_kdx_l formában, a metrika variálásakor a két alak nem lesz egyenértékű. Ugyanis az első alak a metrikus tenzort és a metrikától független [Renderelés ... dx^k]dx^k koordináta-differenciálokat tartalmazza, ezért a metrika variálásakor a differenciálok konstansnak tekinthetők. Míg ha a második alakból indulunk ki, az az inverz metrikus tenzor mellett az ugyancsak metrika-függő [Renderelés ... dx_k]dx_k mennyiségeket tartalmazza, ezért a metrika variálásakor az utóbbiak változását is figyelembe kell(ene) venni, ami oltári ronda és bonyolult számoláshoz vezet (a végeredmény persze ugyanaz, mint amit az első alak variálásával kapunk - de nem azonos az általad odapöttyintett képlettel, hanem annak ellentettje).

4. Nem kell bővíteni [Renderelés ... dτ]dτ-val.

Ha a (12) képletet variáljuk, ez a lépés is előjön.

5. 3. esetén nem kell alkalmazni [Renderelés ... A^{ik}δg_{ik}=−A_{ik}δg^{ik}]A^{ik}δg_{ik}=−A_{ik}δg^{ik} összefüggést.

Mivel az általad leírt 3. lépés a fentiek szerint elvileg hibás (és ezt csak egy másik előjelhiba rejti el), ahhoz, hogy a [Renderelés ... T_{kl}]T_{kl} tenzorhoz eljussunk, mindenképpen alkalmazni kell az idézett formulát.

(Azt hiszem a [Renderelés ... T_{kl}]T_{kl} jelöléssel nem energiaimpulzus-tenzorra gondoltál (mert ugye annak felállítása a cél), hanem csak simán tenzorra.)

A képlet tetszőleges tenzorra érvényes. Amúgy a [Renderelés ... g_{kl}g^{lm}=\delta_k^m]g_{kl}g^{lm}=\delta_k^m azonosság variálásával (a jobboldal variációja nulla), majd egy tetszőleges tenzorral való dupla kontrakcióval vezethető le.

Tanulság: nem elég formális matematikai manipulációkat űzni (és abban bízni, hogy két előjelhiba majd csak kiejti egymást...). A fizikai alkalmazásokban tudni és érteni kell, hogy mit is jelent egy-egy képlet vagy mennyiség, mi az értelme az olyan fogalmaknak, mint "a metrika variálása", pontosan tudni kell, hogy melyik mennyiségnek mi a definíciója, melyik függ vagy nem függ a másiktól. Röviden: nemcsak számolni kell, hanem érteni is, mit csinálunk.

Ja igen. Még csak a legelső (és az áltrel művelői számára közismert) képleténél tartunk annak a (hatvan évvel ezelőtti) cikknek, amiről szabiku a múltkor a hályogkovács bizonyosságával jelentette ki, hogy

Ez csak rossz lehet..

Még hátravannak a cikk lényeges és új állításai... Amelyeket a lesajnálás előtt jó lenne megérteni, vagy legalább annyit felfogni, hogy miről is szólnak...


dgy

[szabiku]

Egy függvény és a reciproka differenciálja arányos egymással, ezért tökmindegy, hogy melyikből indulunk ki.

Mivel itt skalár értékű függvényről volt szó, valóban mindegy, ezzel csak pontosítottam. (Vektor vagy tenzor esetében már persze nem, mert annak nem értelmezzük a reciprokát.)

Mivel a cikk áltreles részében a (-,+,+,+) előjel-konvenciót alkalmazzák, kell a negatív előjel.

Igen, igen, a (12)-ben tényleg kell az a mínuszjel a Novobátzky-s (+,+,+,-)-os szignatúra miatt, és (1)-ből is látszik, levezetve is úgy jön ki. Ezt elnéztem, mert épp a Landau könyvet bújtam, és abban fordított a szignatúra, meg a velejáró előjelek. Nagyon könnyen megfeledkezik róla az ember, mikor két könyvet használ felváltva, melyekben ezek egymáshoz képest fordítottak.

(Na mindegy), nem egy eget verő dolog... Apró számolási hiba csak, nem elvi, mint amiről majd később szó lesz, csak még nem értünk oda a témában...

És bár igaz, hogy az ívelem-négyzet kétféleképp is felírható: [Renderelés ... ds^2=g_{kl}dx^kdx^l=g^{kl}dx_kdx_l]ds^2=g_{kl}dx^kdx^l=g^{kl}dx_kdx_l formában, a metrika variálásakor a két alak nem lesz egyenértékű. Ugyanis az első alak a metrikus tenzort és a metrikától független [Renderelés ... dx^k]dx^k koordináta-differenciálokat tartalmazza, ezért a metrika variálásakor a differenciálok konstansnak tekinthetők. Míg ha a második alakból indulunk ki, az az inverz metrikus tenzor mellett az ugyancsak metrika-függő [Renderelés ... dx_k]dx_k mennyiségeket tartalmazza, ezért a metrika variálásakor az utóbbiak változását is figyelembe kell(ene) venni, ami oltári ronda és bonyolult számoláshoz vezet (a végeredmény persze ugyanaz, mint amit az első alak variálásával kapunk - de nem azonos az általad odapöttyintett képlettel, hanem annak ellentettje). ... az általad leírt 3. lépés a fentiek szerint elvileg hibás

A második alak nyilván nem célravezető, ha [Renderelés ... ds^2]ds^2-et a metrikus tenzor szerint szeretnénk variálni.
De kár lenne elindulni a feleslegesen bonyodalmas irányba, hisz közvetlenül látható belőle az első alak. Ha viszont [Renderelés ... ds^2]ds^2-et az inverz metrikus tenzor szerint szeretnénk variálni, akkor a második alak a célravezető.
A kettő eredmény között pedig az említett [Renderelés ... A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik}]A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik} összefüggés egyszerű kapcsolatot teremt, amivel könnyen áttérhetünk. A [Renderelés ... ds]ds, vagy [Renderelés ... d\tau]d\tau egy skalár mennyiség, és ennek a metrika szerinti variálásakor a parciális deriváláskor keletkezik egy másodrendű [Renderelés ... A^{ik}]A^{ik}-val arányos tenzor. Ez az első alakból a [Renderelés ... dx^i dx^k]dx^i dx^k. Az előbbi összefüggést felhasználva, jól látható, hogy a [Renderelés ... ds]ds, vagy [Renderelés ... d\tau]d\tau ugyanazon variálása, (vagy variációi) az inverz metrikus tenzor szerinti variálásával is elérhető. Ekkor a második alakból láthatóan [Renderelés ... A_{ik}]A_{ik} most [Renderelés ... dx_i dx_k]dx_i dx_k tenzorral lesz ugyanúgy arányos, csak van egy előjel különbség, ami lényeges.

(utólagos NOTE: Ebben a bekezdésben tényleg nem gondoltam valami jól az egészet... A pirossal színezett rész nem igazán jó. A parciális deriválás legtöbbször nem az igazán megfelelő módszer erre... Tulajdonképpen mindkét alak célravezető, és a másodiknál sincs nagy bonyodalom, ha nem a parciális deriválás műveletét végezzük, hanem a variálást fejtegetjük tovább. Ezt lentebb két ízben is megmutatom.
De ha jobban meggondoljuk, akkor a második alak [Renderelés ... \frac{\partial(g^{ik} dx_i dx_k)}{\partial g^{ik}}]\frac{\partial(g^{ik} dx_i dx_k)}{\partial g^{ik}} parciális derivált, mint [Renderelés ... \delta g^{ik}]\delta g^{ik} koefficiense azért kap egy negatív előjelt az első alakból hasonlóan számolthoz képest, mert a koordinátadifferenciál alternatív alakját tekintettük most függetlennek, ami olyan, mintha a koordinátákat az ellenkező irányba variálnánk. (Ez a Landau könyv (94,2) és (94,3) második összefüggéseiből jól látszik, ahogy a viszonylagosság is ([Renderelés ... \xi^i\equiv\delta x^i]\xi^i\equiv\delta x^i).)

Az alsó indexes [Renderelés ... dx_k]dx_k mennyiségek viszont NEM differenciáljai semmiféle "[Renderelés ... x_k]x_k" alsó indexes koordinátának - ilyesmi ugyanis nem létezik. A [Renderelés ... dx_k]dx_k mennyiségek az adott pontbeli ko-érintőtér (kotangenstér), azaz az érintőtér duális terének elemei, és őket a [Renderelés ... dx_k=g_{kl}dx^l]dx_k=g_{kl}dx^l formula definiálja, a [Renderelés ... g_{kl}]g_{kl} metrikus tenzor segítségével.

Persze, de a [Renderelés ... dx^k=g^{kl}dx_l]dx^k=g^{kl}dx_l formula egyenjogú az előzővel. A koordinátázás önkényessége is mutatja, hogy a koordináták a tér metrikája szempontjából semmit sem határoznak meg. A világnak (négyestér), és metrikájának hasonlóan az "alsóindexes koordináták" NEMléte sem jelent semmit. A [Renderelés ... ds^2]ds^2 két alakjának szimmetriájából is látszik, hogy az inverz metrikus tenzor számára az alsóindexes [Renderelés ... dx_i]dx_i éppen olyan, mint a rendes metrikus tenzornak a felsőindexes [Renderelés ... dx^i]dx^i. Érezhető, hogy az alsóindexes [Renderelés ... dx_i]dx_i-k is tekinthetők konstansnak, ha az inverz metrikus tenzoron keresztül variáljuk a világot. A teret ugyan olyan joggal és teljességgel határozza meg a metrikus tenzor önmagában, mint az inverz metrikus tenzor önmagában. Ez a [Renderelés ... g_{ir}g^{rk} = \delta_i^k]g_{ir}g^{rk} = \delta_i^k egyszerű összefüggésből is látszik.

(utólagos NOTE: Ebben a bekezdésben a zölddel színezett rész helytálló kijelentés. Ez a Landau könyv (94,2) és (94,3) második összefüggéseiből jól látszik, ahogy a viszonylagosság is ([Renderelés ... \xi^i\equiv\delta x^i]\xi^i\equiv\delta x^i). Bár fizikailag a koordináták nem jelentenek semmit, matematikai szempontból azért hasznosak, mivel ezekkel címkézzük fel a differenciálható sokaság elemeit, így a felsőindexes [Renderelés ... dx^i]dx^i koordináta differenciálok matematikai szerepe a független és nemfüggetlen változók tekintetében kijelölő lesz az egyenjogú alsóindexes [Renderelés ... dx_i]dx_i koordinátadifferenciálokkal szemben, az alsó- felsőindexes formalizmus szimmetriájában. A variációszámítás meneténél éppen a változók ezen tulajdonságán van a lényeg.


Így a 3. lépés elvileg szerintem nem hibás, csak egy előjelt tévesztettem.

Az első hibát egy negatív előjel elhagyásával követtem el.
A második hibába (amely kiütötte az elsőt), hogy az inverz metrikus tenzor szerinti variáció felírásánál szintén elhagytam egy negatív előjelt, miközben megkísértett a következő pár dolog:
1. (12) után ez áll: "Ez az egyenlet megadja [Renderelés ... \tau]\tau-nak [Renderelés ... g^{ik}]g^{ik}-tól való függését". (Persze ez igaz...)
2. (13)-ban [Renderelés ... \mu]\mu-t egyből [Renderelés ... g^{ik}]g^{ik} szerint variálja.
3. (11) előtt nem sokkal is szintén ezt írja: "[Renderelés ... \mu]\mu-nek [Renderelés ... g^{ik}]g^{ik}-tól való függését..."
4. És ezután is még párszor a felső indexes metrikus tenzort, vagyis pontosabban annak inverzét emlegeti.

A képlet tetszőleges tenzorra érvényes. Amúgy a [Renderelés ... g_{kl}g^{lm}=\delta_k^m]g_{kl}g^{lm}=\delta_k^m azonosság variálásával (a jobboldal variációja nulla), majd egy tetszőleges tenzorral való dupla kontrakcióval vezethető le.

Tehát: [Renderelés ... g_{ir}g^{rk} = \delta_i^k = 1]g_{ir}g^{rk} = \delta_i^k = 1, melynek variációja: [Renderelés ... g_{ir}\delta g^{rk} + g^{rk}\delta g_{ir} = \delta 1 = 0]g_{ir}\delta g^{rk} + g^{rk}\delta g_{ir} = \delta 1 = 0. Amiből:

[Renderelés ... g_{ir}\delta g^{rk} = -g^{rk}\delta g_{ir}]g_{ir}\delta g^{rk} = -g^{rk}\delta g_{ir}. Ezt megszorozva egy tetszőleges másodrendű tenzorral, és az indexeket összeejtve kapjuk:

[Renderelés ... g_{ir} {A^i}_k \delta g^{rk} = -g^{rk} {A^i}_k \delta g_{ir}]g_{ir} {A^i}_k \delta g^{rk} = -g^{rk} {A^i}_k \delta g_{ir}.

Majd a baloldalt i <-> r, a jobboldalt k <-> r összegezőindex jelöléscseréket végrehajtva, figyelembe véve, hogy a metrikus tenzor és az inverze is szimmetrikus, kapjuk:

[Renderelés ... g_{ir} {A^r}_k \delta g^{ik} = -g^{rk} {A^i}_r \delta g_{ik}]g_{ir} {A^r}_k \delta g^{ik} = -g^{rk} {A^i}_r \delta g_{ik}. Végül elvégezzük a metrikus tenzorokkal az indexek fel- és lehúzását:

[Renderelés ... A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik}]A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik}. Ez pedig amiről szó volt.

És bár igaz, hogy az ívelem-négyzet kétféleképp is felírható: [Renderelés ... ds^2=g_{kl}dx^kdx^l=g^{kl}dx_kdx_l]ds^2=g_{kl}dx^kdx^l=g^{kl}dx_kdx_l formában, a metrika variálásakor a két alak nem lesz egyenértékű. Ugyanis az első alak a metrikus tenzort és a metrikától független [Renderelés ... dx^k]dx^k koordináta-differenciálokat tartalmazza, ezért a metrika variálásakor a differenciálok konstansnak tekinthetők. Míg ha a második alakból indulunk ki, az az inverz metrikus tenzor mellett az ugyancsak metrika-függő [Renderelés ... dx_k]dx_k mennyiségeket tartalmazza, ezért a metrika variálásakor az utóbbiak változását is figyelembe kell(ene) venni, ami oltári ronda és bonyolult számoláshoz vezet (a végeredmény persze ugyanaz, mint amit az első alak variálásával kapunk - de nem azonos az általad odapöttyintett képlettel, hanem annak ellentettje).

Nézzük, tehát [Renderelés ... ds^2=g_{kl}dx^kdx^l=g^{kl}dx_kdx_l]ds^2=g_{kl}dx^kdx^l=g^{kl}dx_kdx_l. Írjuk fel az egyenlet variációját:

[Renderelés ... \delta ds^2 = \delta(g_{kl}dx^k dx^l)=\delta(g^{kl}dx_k dx_l)]\delta ds^2 = \delta(g_{kl}dx^k dx^l)=\delta(g^{kl}dx_k dx_l). Végezzük el a variálást:

[Renderelés ... g_{kl}\delta(dx^k dx^l) + dx^k dx^l \delta g_{kl} = g^{kl}\delta(dx_k dx_l) + dx_k dx_l \delta g^{kl}]g_{kl}\delta(dx^k dx^l) + dx^k dx^l \delta g_{kl} = g^{kl}\delta(dx_k dx_l) + dx_k dx_l \delta g^{kl}.

A két oldal csak azonos variációk esetén egyenlő, ez természetes. Akár a metrikus tenzor, akár az inverz metrikus tenzor szerint variálunk, mindkét esetben kizárólag vagy a felsőindexes koordinátadifferenciálok, vagy az azoknak megfelelő alsóindexes alakjuk tekintendők függetlennek. Nyilván ugyan arra az összefüggésre jutunk. Nézzük tovább azt az "oltári ronda és bonyolult" számolást, ami itt az egyenlet jobb oldalán lesz.
A független változók konstansnak tekintendők, és variációja nulla, tehát baloldalt az első tag eltűnik.
Jobboldalt pedig az alsóindexes koordináta-differenciálokat egyszerűen átírjuk felsőindexes alakra.

[Renderelés ... dx^k dx^l \delta g_{kl} = g^{kl}\delta(g_{kr}g_{ls}dx^r dx^s) + dx_k dx_l \delta g^{kl}]dx^k dx^l \delta g_{kl} = g^{kl}\delta(g_{kr}g_{ls}dx^r dx^s) + dx_k dx_l \delta g^{kl}. Elvégezzük a variálást:

[Renderelés ... dx^k dx^l \delta g_{kl} = g^{kl} dx^r dx^s \delta(g_{kr}g_{ls}) + dx_k dx_l \delta g^{kl}]dx^k dx^l \delta g_{kl} = g^{kl} dx^r dx^s \delta(g_{kr}g_{ls}) + dx_k dx_l \delta g^{kl}. Tovább:

[Renderelés ... dx^k dx^l \delta g_{kl} = g^{kl}g_{kr}dx^r dx^s \delta g_{ls} + g^{kl}g_{ls}dx^r dx^s\delta g_{kr} + dx_k dx_l \delta g^{kl}]dx^k dx^l \delta g_{kl} = g^{kl}g_{kr}dx^r dx^s \delta g_{ls} + g^{kl}g_{ls}dx^r dx^s\delta g_{kr} + dx_k dx_l \delta g^{kl}. Lesznek Kronecker delták:

[Renderelés ... dx^k dx^l \delta g_{kl} = \delta^l_r dx^r dx^s \delta g_{ls} + \delta^k_s dx^r dx^s\delta g_{kr} + dx_k dx_l \delta g^{kl}]dx^k dx^l \delta g_{kl} = \delta^l_r dx^r dx^s \delta g_{ls} + \delta^k_s dx^r dx^s\delta g_{kr} + dx_k dx_l \delta g^{kl}. A Kronecker delták lényegében csak indexjelölést változtatnak.

[Renderelés ... dx^k dx^l \delta g_{kl} = dx^l dx^s \delta g_{ls} + dx^r dx^k\delta g_{kr} + dx_k dx_l \delta g^{kl}]dx^k dx^l \delta g_{kl} = dx^l dx^s \delta g_{ls} + dx^r dx^k\delta g_{kr} + dx_k dx_l \delta g^{kl}. A baloldali és a jobboldali első tag azonos, így kiejtik egymást, marad a jobboldali két utolsó tag:

[Renderelés ... 0 = dx^r dx^k\delta g_{kr} + dx_k dx_l \delta g^{kl}]0 = dx^r dx^k\delta g_{kr} + dx_k dx_l \delta g^{kl}. r összegező indexet l-el jelölve, és a szimmetriatulajdonságokat kihasználva cserét végrehajtva, adódik a szép alak:

[Renderelés ... dx^k dx^l\delta g_{kl} = -dx_k dx_l \delta g^{kl}]dx^k dx^l\delta g_{kl} = -dx_k dx_l \delta g^{kl}.

Így is megkaptuk az [Renderelés ... A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik}]A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik} formulát. Láthatóan ugyan az.


Legyen [Renderelés ... a]a egy skalár. Képezzük ennek a variációját a metrikus tenzor, és az inverz metrikus tenzor szerint:

Írhatjuk, hogy: [Renderelés ... \delta a = \frac{\partial a}{\partial g_{ik}}\delta g_{ik} = \frac{\partial a}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik}]\delta a = \frac{\partial a}{\partial g_{ik}}\delta g_{ik} = \frac{\partial a}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik}.

[Renderelés ... \delta a]\delta a parciális deriválással felírt ilyen alakja leginkább csak formai, mert [Renderelés ... a]a alakja legtöbb esetben nem igazán alkalmas a parciális deriválás műveletéhez. A variáció továbbfejtésének művelete viszont mindig célravezető. Az mindegy, hogy ezzel éppen [Renderelés ... \delta g_{ik}]\delta g_{ik}-t, vagy [Renderelés ... \delta g^{ik}]\delta g^{ik}-t tartalmazó alakra jutunk, mert a mindig alkalmazható [Renderelés ... A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik}]A_{ik}\delta g^{ik} = -A^{ik}\delta g_{ik} képlettel végül áttérhetünk a kívántra.

Nézzük így [Renderelés ... \delta ds^2]\delta ds^2 metrika (vagy inverz metrika, ugyan az...) szerinti variációját:

[Renderelés ... \delta ds^2 = \delta(g_{ik} dx^i dx^k) = dx^i dx^k \delta g_{ik} + g_{ik}\delta(dx^i dx^k) = dx^i dx^k \delta g_{ik} + 0]\delta ds^2 = \delta(g_{ik} dx^i dx^k) = dx^i dx^k \delta g_{ik} + g_{ik}\delta(dx^i dx^k) = dx^i dx^k \delta g_{ik} + 0.

Nézzük a fentebb problémásnak ítélt alakból ugyan ezt:

[Renderelés ... \delta ds^2 = \delta(g^{ik} dx_i dx_k) = dx_i dx_k \delta g^{ik} + g^{ik}\delta(dx_i dx_k) = dx_i dx_k \delta g^{ik} + g^{ik}dx_i \delta dx_k + g^{ik}dx_k \delta dx_i =]\delta ds^2 = \delta(g^{ik} dx_i dx_k) = dx_i dx_k \delta g^{ik} + g^{ik}\delta(dx_i dx_k) = dx_i dx_k \delta g^{ik} + g^{ik}dx_i \delta dx_k + g^{ik}dx_k \delta dx_i =
az utolsó két tag ugyan az:
[Renderelés ... = dx_i dx_k \delta g^{ik} + 2g^{ik}dx_i \delta dx_k = dx_i dx_k \delta g^{ik} + 2g^{ik}dx_i \delta(g_{kl} dx^l) = dx_i dx_k \delta g^{ik} + 2g^{ik}dx_i dx^l \delta g_{kl} =]= dx_i dx_k \delta g^{ik} + 2g^{ik}dx_i \delta dx_k = dx_i dx_k \delta g^{ik} + 2g^{ik}dx_i \delta(g_{kl} dx^l) = dx_i dx_k \delta g^{ik} + 2g^{ik}dx_i dx^l \delta g_{kl} =
az utolsó tagra alkalmazzuk elkerülhetetlenül az [Renderelés ... A^{ik}\delta g_{ik} = -A_{ik}\delta g^{ik}]A^{ik}\delta g_{ik} = -A_{ik}\delta g^{ik} átalakítást:
[Renderelés ... = dx_i dx_k \delta g^{ik} - 2\delta^i_k dx_i dx_l \delta g^{kl} = dx_i dx_k \delta g^{ik} - 2dx_k dx_l \delta g^{kl} = -dx_i dx_k \delta g^{ik}]= dx_i dx_k \delta g^{ik} - 2\delta^i_k dx_i dx_l \delta g^{kl} = dx_i dx_k \delta g^{ik} - 2dx_k dx_l \delta g^{kl} = -dx_i dx_k \delta g^{ik}.


Hogy miért a felső indexes [Renderelés ... g^{ik}]g^{ik} szerinti variálásra törekszünk az energiaimpulzus-tenzort előállító variációs elvben, vagyis, hogy miért az alsó indexes [Renderelés ... T_{ik}]T_{ik} energiaimpulzus-tenzort "szeretjük" kicsit jobban, szerintem azért van, mert a gravitáció leírásában ezt a kontrahált görbületi tenzorral, és azon keresztül a metrikus tenzorral hozzuk kapcsolatba, ami ugye alsó indexes.

Tanulság: nem elég formális matematikai manipulációkat űzni (és abban bízni, hogy két előjelhiba majd csak kiejti egymást...). A fizikai alkalmazásokban tudni és érteni kell, hogy mit is jelent egy-egy képlet vagy mennyiség, mi az értelme az olyan fogalmaknak, mint "a metrika variálása", pontosan tudni kell, hogy melyik mennyiségnek mi a definíciója, melyik függ vagy nem függ a másiktól. Röviden: nemcsak számolni kell, hanem érteni is, mit csinálunk.

Igen, igen, ezzel én is egyetértek... (pl. az egyszerű PONT, és az infinitezimális anyagdarab közti nagy elméleti különbség, meg a [Renderelés ... \delta]\delta nélküli (202)-es összefüggés...)
Ezért legközelebb jobban odafigyelek az egyszerű előjeltévesztés gyerekhibájára.

Ja igen. Még csak a legelső (és az áltrel művelői számára közismert) képleténél tartunk annak a (hatvan évvel ezelőtti) cikknek, amiről szabiku a múltkor a hályogkovács bizonyosságával jelentette ki, hogy...

Azért a variációszámításos elméleti alkotások nem éppen az első lépések a relativitáselméletben, és úgy általában a fizikában.
A lesajnálást még nem az eddig tárgyaltakra értettem, hanem:

Még hátravannak a cikk lényeges és új állításai... Amelyeket a lesajnálás előtt jó lenne megérteni,

Nyilván.

vagy legalább annyit felfogni, hogy miről is szólnak...

Na igen... Erre is sor kerül nemsokára.