A turpisság ott van, hogy a kupulára megadott görbét nem követheti egy golyó súlypontja, mivel az a golyó sugarával feljebb van, és más görbét ír le. Történetesen, ha a golyó egy tű hegyén is áll, a súlypontja egy köríven fog elmozdulni, és ennél csak kisebb lehet a gyorsulása, ha nem tű hegyén áll.
Igen, alapvetően erről van szó.
Ha a pályát megperturbáljuk/kvantáljuk, akkor is fennáll hogy több megoldása van a rendszernek?
Kvantálás esetén nem értelmezhető a feladat által kitűzött kezdeti feltétel. Perturbáció esetén attól függ az unicitás, hogy a felületet hogyan perturbáljuk meg, de általánosságban nem szünteti meg a nem-egyértelműséget.
Mármint a mechanikán/fizikán belül?
Vagyis olyan konfiguráció, amelyik nem csak egy 0 mértékű részén kaka, hanem valami pozitív mértékűn?
Nem, most pusztán matematikailag gondoltam, fizikában elvárás az unicitás. Ennek ellenére elképzelhető valami ilyesmi eset, például a sehol sem differenciálható függvények mintájára lehetne gyártani olyan felületet amit ennek a kupolának a csúcsa "töltene ki".
A megoldás itt (illetve sok más hasonló problémánál) a test pontszerűségéből ered.
Az, hogy ez már nagyon általános keretek között is a determinizmust sértheti elegendő a legegyszerűbb, középiskolás feladatokra visszautalni.
Az egyik ilyen a két pontszerű test ütközése, amely esetben semmi sem rögzíti azt, hogy az ütközés után melyik egyenes mentén mozogjanak a testek.
Ha megpróbáljuk igényesebben leírni a kölcsönhatást (ún. keménymagvú potenciálokkal), akkor a Dirac-delta tulajdonságai miatt a gradiens, és így az erő iránya nem lesz jól definiált.
Három pontszerű test ütközésénél még jobban szembeötlő ez a problematika.
Pontszerűnek akkor lehet tekinteni a testet, ha a szerkezetétől függetlenek a rá ható erők.
Ha kicsit filozófiai jellegű magyarázatot kellene mondanom, azt mondanám, hogy mivel a természettörvényekhez az általunk megfigyelt véges kiterjedésű objektumok viselkedéséből jutunk, így az absztrakciónk legáltalánosabban csak tetszőlegesen kicsiny testre lesz érvényes, egzaktul pontszerű objektumokra nem feltétlenül.
Ez látszólag problémás lehet, révén hogy a pontszerű test a klasszikus fizika egyik legfontosabb fogalma, de csak bizonyos speciális esetekben okoz nehézséget.
Az egyik nemtriviális ilyen eset a sugárzási visszahatás klasszikus modellezése, de ez messzire vezethetne.
Visszatérve a feladatra, ha például egy testet egy szinusz-hullám felületre helyezem, akkor a kényszerek csak akkor függetlenek a belső szerkezettől, ha a felületet jellemző "hullámhossz" a test kiterjedéséhez képest nagy.
A csúcsok/élek által kifejtett kényszer pedig mindig függeni fog a szerkezettől, hiszen a felületi normálist ilyenkor csakis a test felülete tud definiálni az érintkezési ponton.
Fontos továbbá, hogy a pontszerűséget akkor szoktuk feltételezni, mikor a test szerkezetéről semmilyen egyéb információnk nincsen. Így érthető módon (gömb)szimmetrikus testet tételezünk fel, amelyet olyan kicsinynek veszünk, hogy az erők ne függjenek a mérettől számottevően.
Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy olyan kicsire választjuk a test sugarát, hogy a tömegközéppont lehetséges helyzetei (a kényszerfelület R-sugarú simítása) tetszőlegesen közel kerüljön az eredeti kényszerfelülethez.
A probléma éppen ott lép fel, hogy ebben a legutolsó lépésben a tényleges határértéket vesszük.
Ha viszont a test sugarát nem vesszük expliciten nullának, hanem egy kis
[Renderelés ... \epsilon]\epsilon értéket tulajdonítunk neki, akkor közvetlenül a csúcs közelében a mozgásegyenlet
[math]\ddot{R} \approx \dfrac{R}{\sqrt{\epsilon^2- R^2}} lesz, amely bármely tetszőlegesen kicsiny érték esetén nulla erőt ad, így a csúcs "valódi" instabil egyensúlyi állapot lesz, amelyen nyugodva a test nem gurulna le sohasem, és végtelen idő alatt tudna éppen feljutni és megállni.
Utolsó megjegyzésként érdemes megjegyezni, hogy a filozófiai cikkekben is előkerült a pontszerűség mint a probléma lehetséges forrása, de kivétel nélkül arra hivatkoztak, hogy mivel a fizika-tankönyvekben nem szoktak túl sokat problémázni ennek a jogosságán, ezért ők sem fognak.
Ez tulajdonképpen jogos kritikaként is felfogható a jegyzetekkel szemben.
Szerző: takacs.ferenc.bp » 2017.02.28. 22:25 